Статья (Markdown) Доступно всем ОГЭ

Задание №8 ОГЭ по математике

ОГЭ математика · 9 класс · Обновлено 12.05.2026 16:06

Задание №8 ОГЭ по математике — степени, корни и алгебраические выражения

В задании №8 ОГЭ по математике чаще всего нужно найти значение выражения. Обычно встречаются степени, квадратные корни, отрицательные степени и формулы сокращённого умножения.

Что проверяет задание №8

В этом задании нужно уметь:

применять свойства степеней;
работать с отрицательными степенями;
упрощать выражения с квадратными корнями;
подставлять значения переменных;
узнавать формулы сокращённого умножения;
вычислять выражения аккуратно и без калькулятора.

1. Степени

Степень показывает, сколько раз число умножается само на себя.

Например:

$$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$

Главное правило

Если основания одинаковые, то при умножении степени показатели складываются:

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

При делении степени показатели вычитаются:

$$ a^m : a^n = a^{m-n} $$

Пример 1

Найдите значение выражения:

$$ \frac{5^5}{25} $$

Решение

Сначала заметим, что:

$$ 25 = 5^2 $$

Тогда выражение можно переписать так:

$$ \frac{5^5}{25} = \frac{5^5}{5^2} $$

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

$$ \frac{5^5}{5^2} = 5^{5-2} = 5^3 $$

Теперь считаем:

$$ 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 $$

Ответ

$$ 125 $$

2. Отрицательная степень

Отрицательная степень означает, что число нужно перенести в знаменатель.

Правило

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Например:

$$ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} $$

Пример 2

Найдите значение выражения:

$$ \frac{1}{3^{-8}} : \frac{1}{3^7} $$

Решение

Сначала разберём первую дробь.

Так как:

$$ 3^{-8} = \frac{1}{3^8} $$

то:

$$ \frac{1}{3^{-8}} = \frac{1}{\frac{1}{3^8}} = 3^8 $$

Теперь выражение стало таким:

$$ 3^8 : \frac{1}{3^7} $$

Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:

$$ 3^8 \cdot 3^7 $$

При умножении степеней показатели складываются:

$$ 3^8 \cdot 3^7 = 3^{8+7}=3^{15} $$

Ответ

$$ 3^{15} $$

3. Квадратные корни

Квадратный корень из числа — это такое число, квадрат которого равен исходному числу.

Например:

$$ \sqrt{25}=5 $$

потому что:

$$ 5^2=25 $$

Свойства корней

Корень из произведения:

$$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $$

Корень из дроби:

$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $$

Пример 3

Найдите значение выражения:

$$ \frac{\sqrt{75} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{30}} $$

Решение

Сначала объединим корни в числителе:

$$ \sqrt{75} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{75 \cdot 10} = \sqrt{750} $$

Теперь всё выражение:

$$ \frac{\sqrt{750}}{\sqrt{30}} $$

Используем свойство корней:

$$ \frac{\sqrt{750}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{750}{30}} $$

Считаем дробь:

$$ \frac{750}{30}=25 $$

Получаем:

$$ \sqrt{25}=5 $$

Ответ

$$ 5 $$

4. Подстановка значений в выражение

Иногда в задании дано выражение с переменными, например x и y. Нужно подставить данные значения и вычислить.

Как решать

Сначала внимательно перепиши выражение.
Подставь значения переменных.
Выполни степени.
Выполни умножение и деление.
Извлеки корень.

Пример 4

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{\frac{1}{16}x^6y^4} $$

при:

$$ x=2, \quad y=5 $$

Решение

Подставим значения:

$$ \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 2^6 \cdot 5^4} $$

Считаем степени:

$$ 2^6 = 64 $$

$$ 5^4 = 625 $$

Получаем:

$$ \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 64 \cdot 625} $$

Сначала:

$$ \frac{1}{16} \cdot 64 = 4 $$

Значит:

$$ \sqrt{4 \cdot 625} = \sqrt{2500} $$

Теперь извлекаем корень:

$$ \sqrt{2500}=50 $$

Ответ

$$ 50 $$

5. Формулы сокращённого умножения

В задании №8 часто встречаются выражения, которые можно узнать по формуле.

Нужно знать

Квадрат суммы:

$$ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $$

Квадрат разности:

$$ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $$

Разность квадратов:

$$ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $$

Пример 5

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{9a^2+6ab+b^2} $$

при:

$$ a=\frac{5}{13}, \quad b=6\frac{11}{13} $$

Решение

Сначала заметим формулу:

$$ 9a^2+6ab+b^2 $$

Это можно представить так:

$$ (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 $$

Значит:

$$ 9a^2+6ab+b^2 = (3a+b)^2 $$

Тогда:

$$ \sqrt{9a^2+6ab+b^2} = \sqrt{(3a+b)^2} $$

Так как в задании значения положительные, получаем:

$$ \sqrt{(3a+b)^2}=3a+b $$

Теперь подставим значения:

$$ 3a+b = 3 \cdot \frac{5}{13} + 6\frac{11}{13} $$

Считаем:

$$ 3 \cdot \frac{5}{13}=\frac{15}{13}=1\frac{2}{13} $$

Теперь складываем:

$$ 1\frac{2}{13}+6\frac{11}{13} = 7\frac{13}{13} = 8 $$

Ответ

$$ 8 $$

6. Типовые задания №8 ОГЭ

Задание 1

Найдите значение выражения:

$$ \frac{5^5}{25} $$

Решение

$$ 25 = 5^2 $$

$$ \frac{5^5}{25} = \frac{5^5}{5^2} = 5^{5-2} = 5^3 $$

$$ 5^3=125 $$

Ответ

$$ 125 $$

Задание 2

Найдите значение выражения:

$$ \frac{\sqrt{75} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{30}} $$

Решение

$$ \frac{\sqrt{75} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{75 \cdot 10}{30}} $$

Считаем под корнем:

$$ \frac{75 \cdot 10}{30} = \frac{750}{30} = 25 $$

Значит:

$$ \sqrt{25}=5 $$

Ответ

$$ 5 $$

Задание 3

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{\frac{1}{16}x^6y^4} $$

при:

$$ x=2, \quad y=5 $$

Решение

Подставляем значения:

$$ \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 2^6 \cdot 5^4} $$

$$ 2^6=64 $$

$$ 5^4=625 $$

Получаем:

$$ \sqrt{\frac{64}{16} \cdot 625} = \sqrt{4 \cdot 625} = \sqrt{2500} = 50 $$

Ответ

$$ 50 $$

Задание 4

Найдите значение выражения:

$$ \frac{1}{3^{-8}} : \frac{1}{3^7} $$

Решение

Так как:

$$ 3^{-8}=\frac{1}{3^8} $$

то:

$$ \frac{1}{3^{-8}}=3^8 $$

Получаем:

$$ 3^8 : \frac{1}{3^7} $$

Деление на дробь заменяем умножением:

$$ 3^8 \cdot 3^7 = 3^{15} $$

Ответ

$$ 3^{15} $$

Задание 5

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{9a^2+6ab+b^2} $$

при:

$$ a=\frac{5}{13}, \quad b=6\frac{11}{13} $$

Решение

Заметим формулу:

$$ 9a^2+6ab+b^2=(3a+b)^2 $$

Тогда:

$$ \sqrt{9a^2+6ab+b^2} = \sqrt{(3a+b)^2} = 3a+b $$

Подставляем:

$$ 3a+b= 3 \cdot \frac{5}{13}+6\frac{11}{13} $$

$$ 3 \cdot \frac{5}{13}=\frac{15}{13}=1\frac{2}{13} $$

$$ 1\frac{2}{13}+6\frac{11}{13} = 7\frac{13}{13} = 8 $$

Ответ

$$ 8 $$

7. Частые ошибки в задании №8

Ошибка 1. Забывают заменить число степенью

Например:

$$ 25 = 5^2 $$

Поэтому:

$$ \frac{5^5}{25} = \frac{5^5}{5^2} $$

А дальше показатели вычитаются.

Ошибка 2. Неправильно работают с отрицательной степенью

Неправильно:

$$ 3^{-8}=-3^8 $$

Правильно:

$$ 3^{-8}=\frac{1}{3^8} $$

Отрицательная степень не делает число отрицательным.

Ошибка 3. Не замечают формулу квадрата суммы

Выражение:

$$ 9a^2+6ab+b^2 $$

нужно увидеть как:

$$ (3a+b)^2 $$

потому что:

$$ 9a^2=(3a)^2 $$

$$ 6ab=2 \cdot 3a \cdot b $$

Ошибка 4. Неправильно объединяют корни

Правильно:

$$ \sqrt{75} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{750} $$

и:

$$ \frac{\sqrt{750}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{750}{30}} $$

8. Алгоритм решения задания №8

Как решать

Определи тип выражения: степени, корни или формула.
Если есть степени — приведи числа к одному основанию.
Если есть отрицательная степень — замени её дробью.
Если есть корни — объедини их или упрости подкоренное выражение.
Если есть переменные — подставь значения.
Проверь, нет ли формулы сокращённого умножения.
Аккуратно вычисли ответ.

9. Мини-шпаргалка

Степени

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

$$ a^m : a^n = a^{m-n} $$

$$ (a^m)^n = a^{mn} $$

$$ a^{-n}=\frac{1}{a^n} $$

Корни

$$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $$

$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} $$

$$ \sqrt{a^2}=|a| $$

Формулы

$$ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $$

$$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $$

$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$

10. Тренировка

Задание 1

Найдите значение выражения:

$$ \frac{2^6}{16} $$

Показать ответ Так как: $$ 16=2^4 $$ то: $$ \frac{2^6}{16} = \frac{2^6}{2^4} = 2^{6-4} = 2^2 = 4 $$ Ответ: $$ 4 $$

Задание 2

Найдите значение выражения:

$$ \frac{\sqrt{18}\cdot\sqrt{8}}{\sqrt{4}} $$

Показать ответ $$ \frac{\sqrt{18}\cdot\sqrt{8}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{18\cdot 8}{4}} $$ $$ \frac{18\cdot 8}{4}=36 $$ $$ \sqrt{36}=6 $$ Ответ: $$ 6 $$

Задание 3

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{\frac{1}{9}x^4y^2} $$

при:

$$ x=3, \quad y=6 $$

Показать ответ Подставляем: $$ \sqrt{\frac{1}{9}\cdot 3^4 \cdot 6^2} $$ $$ 3^4=81 $$ $$ 6^2=36 $$ $$ \sqrt{\frac{81}{9}\cdot 36} = \sqrt{9\cdot 36} = \sqrt{324} = 18 $$ Ответ: $$ 18 $$

Задание 4

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{4a^2+4ab+b^2} $$

при:

$$ a=2, \quad b=5 $$

Показать ответ Заметим формулу: $$ 4a^2+4ab+b^2=(2a+b)^2 $$ Тогда: $$ \sqrt{4a^2+4ab+b^2}=2a+b $$ Подставим: $$ 2a+b=2\cdot 2+5=9 $$ Ответ: $$ 9 $$

Задание 5

Найдите значение выражения:

$$ \frac{1}{2^{-3}} $$

Показать ответ $$ 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} $$ Тогда: $$ \frac{1}{2^{-3}} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8 $$ Ответ: $$ 8 $$

11. Мини-тест

Вопрос 1

Найдите значение выражения:

$$ \frac{3^5}{9} $$

A) 27 B) 81 C) 243 D) 729

Правильный ответ: A

Вопрос 2

Найдите значение выражения:

$$ \frac{\sqrt{20}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{4}} $$

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

Правильный ответ: D

Вопрос 3

Чему равно:

$$ 5^{-2} $$

A) $$ -25 $$ B) $$ \frac{1}{25} $$ C) $$ -\frac{1}{25} $$ D) $$ 25 $$

Правильный ответ: B

Вопрос 4

Какой формуле равно выражение:

$$ a^2+2ab+b^2 $$

A) $$ (a-b)^2 $$ B) $$ a^2-b^2 $$ C) $$ (a+b)^2 $$ D) $$ a+b^2 $$

Правильный ответ: C

Вопрос 5

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{9x^2} $$

при:

$$ x=4 $$

A) 6 B) 9 C) 12 D) 36

Правильный ответ: C

Итог

Задание №8 ОГЭ по математике проверяет умение преобразовывать выражения.

Главное помнить:

при делении степеней показатели вычитаются;
отрицательная степень превращает число в дробь;
корни можно объединять под один корень;
формулы сокращённого умножения помогают быстро упростить выражение;
при подстановке значений сначала считаем степени, потом корень.

Если знать основные свойства степеней и корней, задание №8 можно решить быстро и без сложных вычислений.