Задание 8 ОГЭ по математике: степени, корни и алгебраические выражения

В задании 8 ОГЭ по математике чаще всего нужно найти значение выражения. Обычно встречаются степени, квадратные корни, отрицательные степени, подстановка значений и формулы сокращённого умножения.

---

Что проверяет задание 8

В этом задании нужно уметь:

• применять свойства степеней;
• работать с отрицательными степенями;
• упрощать выражения с квадратными корнями;
• подставлять значения переменных;
• узнавать формулы сокращённого умножения;
• вычислять выражения аккуратно и без калькулятора.

Главное — увидеть, какое правило нужно применить.

---

Степени

Степень показывает, сколько раз число умножается само на себя.

Например:

$$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$

---

Основные свойства степеней

Если основания одинаковые, то при умножении степени показатели складываются:

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

При делении степени показатели вычитаются:

$$ a^m : a^n = a^{m-n} $$

Степень степени:

$$ (a^m)^n = a^{mn} $$

---

Пример 1

Найдите значение выражения:

$$ \frac{5^5}{25} $$

Решение

Сначала заметим, что:

$$ 25 = 5^2 $$

Тогда выражение можно переписать так:

$$ \frac{5^5}{25} = \frac{5^5}{5^2} $$

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

$$ \frac{5^5}{5^2} = 5^{5-2} = 5^3 $$

Теперь считаем:

$$ 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 $$

Ответ

$$ 125 $$

---

Отрицательная степень

Отрицательная степень означает, что число нужно перенести в знаменатель.

Главное правило:

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Например:

$$ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} $$

Важно:

$$ 3^{-2} \ne -9 $$

Отрицательная степень не делает число отрицательным.

---

Пример 2

Найдите значение выражения:

$$ \frac{1}{3^{-8}} : \frac{1}{3^7} $$

Решение

Сначала разберём первую дробь.

Так как:

$$ 3^{-8} = \frac{1}{3^8} $$

то:

$$ \frac{1}{3^{-8}} = \frac{1}{\frac{1}{3^8}} = 3^8 $$

Теперь выражение стало таким:

$$ 3^8 : \frac{1}{3^7} $$

Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:

$$ 3^8 \cdot 3^7 $$

При умножении степеней показатели складываются:

$$ 3^8 \cdot 3^7 = 3^{8+7}=3^{15} $$

Ответ

$$ 3^{15} $$

---

Квадратные корни

Квадратный корень из числа — это такое число, квадрат которого равен исходному числу.

Например:

$$ \sqrt{25}=5 $$

потому что:

$$ 5^2=25 $$

---

Свойства корней

Корень из произведения:

$$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $$

Корень из дроби:

$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $$

Также важно помнить:

$$ \sqrt{a^2}=|a| $$

Если в задании переменная положительная, то можно писать проще:

$$ \sqrt{a^2}=a $$

---

Пример 3

Найдите значение выражения:

$$ \frac{\sqrt{75} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{30}} $$

Решение

Сначала объединим корни в числителе:

$$ \sqrt{75} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{75 \cdot 10} = \sqrt{750} $$

Теперь всё выражение:

$$ \frac{\sqrt{750}}{\sqrt{30}} $$

Используем свойство корней:

$$ \frac{\sqrt{750}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{750}{30}} $$

Считаем дробь:

$$ \frac{750}{30}=25 $$

Получаем:

$$ \sqrt{25}=5 $$

Ответ

$$ 5 $$

---

Подстановка значений в выражение

Иногда в задании дано выражение с переменными, например x и y.

Нужно подставить данные значения и вычислить.

---

Как решать такие задания

1. Сначала внимательно перепиши выражение.
2. Подставь значения переменных.
3. Выполни степени.
4. Выполни умножение и деление.
5. Извлеки корень.

---

Пример 4

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{\frac{1}{16}x^6y^4} $$

при:

$$ x=2, \quad y=5 $$

Решение

Подставим значения:

$$ \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 2^6 \cdot 5^4} $$

Считаем степени:

$$ 2^6 = 64 $$

$$ 5^4 = 625 $$

Получаем:

$$ \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 64 \cdot 625} $$

Сначала:

$$ \frac{1}{16} \cdot 64 = 4 $$

Значит:

$$ \sqrt{4 \cdot 625} = \sqrt{2500} $$

Теперь извлекаем корень:

$$ \sqrt{2500}=50 $$

Ответ

$$ 50 $$

---

Формулы сокращённого умножения

В задании 8 часто встречаются выражения, которые можно узнать по формуле.

Нужно знать три основные формулы.

---

Квадрат суммы

$$ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $$

---

Квадрат разности

$$ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $$

---

Разность квадратов

$$ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $$

---

Пример 5

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{9a^2+6ab+b^2} $$

при:

$$ a=\frac{5}{13}, \quad b=6\frac{11}{13} $$

Решение

Сначала заметим формулу:

$$ 9a^2+6ab+b^2 $$

Это можно представить так:

$$ (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 $$

Значит:

$$ 9a^2+6ab+b^2 = (3a+b)^2 $$

Тогда:

$$ \sqrt{9a^2+6ab+b^2} = \sqrt{(3a+b)^2} $$

Так как в задании значения положительные, получаем:

$$ \sqrt{(3a+b)^2}=3a+b $$

Теперь подставим значения:

$$ 3a+b = 3 \cdot \frac{5}{13} + 6\frac{11}{13} $$

Считаем:

$$ 3 \cdot \frac{5}{13}=\frac{15}{13}=1\frac{2}{13} $$

Теперь складываем:

$$ 1\frac{2}{13}+6\frac{11}{13} = 7\frac{13}{13} = 8 $$

Ответ

$$ 8 $$

---

Как узнать формулу сокращённого умножения

Иногда выражение выглядит сложно, но на самом деле это квадрат суммы или квадрат разности.

Например:

$$ 9a^2+6ab+b^2 $$

Смотрим:

$$ 9a^2=(3a)^2 $$

$$ b^2=b^2 $$

А средний член:

$$ 6ab=2 \cdot 3a \cdot b $$

Значит:

$$ 9a^2+6ab+b^2=(3a+b)^2 $$

---

Типовые задания 8 ОГЭ

---

Задание 1

Найдите значение выражения:

$$ \frac{5^5}{25} $$

Решение

$$ 25 = 5^2 $$

$$ \frac{5^5}{25} = \frac{5^5}{5^2} = 5^{5-2} = 5^3 $$

$$ 5^3=125 $$

Ответ

$$ 125 $$

---

Задание 2

Найдите значение выражения:

$$ \frac{\sqrt{75} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{30}} $$

Решение

$$ \frac{\sqrt{75} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{75 \cdot 10}{30}} $$

Считаем под корнем:

$$ \frac{75 \cdot 10}{30} = \frac{750}{30} = 25 $$

Значит:

$$ \sqrt{25}=5 $$

Ответ

$$ 5 $$

---

Задание 3

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{\frac{1}{16}x^6y^4} $$

при:

$$ x=2, \quad y=5 $$

Решение

Подставляем значения:

$$ \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 2^6 \cdot 5^4} $$

$$ 2^6=64 $$

$$ 5^4=625 $$

Получаем:

$$ \sqrt{\frac{64}{16} \cdot 625} = \sqrt{4 \cdot 625} = \sqrt{2500} = 50 $$

Ответ

$$ 50 $$

---

Задание 4

Найдите значение выражения:

$$ \frac{1}{3^{-8}} : \frac{1}{3^7} $$

Решение

Так как:

$$ 3^{-8}=\frac{1}{3^8} $$

то:

$$ \frac{1}{3^{-8}}=3^8 $$

Получаем:

$$ 3^8 : \frac{1}{3^7} $$

Деление на дробь заменяем умножением:

$$ 3^8 \cdot 3^7 = 3^{15} $$

Ответ

$$ 3^{15} $$

---

Задание 5

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{9a^2+6ab+b^2} $$

при:

$$ a=\frac{5}{13}, \quad b=6\frac{11}{13} $$

Решение

Заметим формулу:

$$ 9a^2+6ab+b^2=(3a+b)^2 $$

Тогда:

$$ \sqrt{9a^2+6ab+b^2} = \sqrt{(3a+b)^2} = 3a+b $$

Подставляем:

$$ 3a+b= 3 \cdot \frac{5}{13}+6\frac{11}{13} $$

$$ 3 \cdot \frac{5}{13}=\frac{15}{13}=1\frac{2}{13} $$

$$ 1\frac{2}{13}+6\frac{11}{13} = 7\frac{13}{13} = 8 $$

Ответ

$$ 8 $$

---

Частые ошибки в задании 8

Ошибка 1. Забывают заменить число степенью

Например:

$$ 25 = 5^2 $$

Поэтому:

$$ \frac{5^5}{25} = \frac{5^5}{5^2} $$

А дальше показатели вычитаются.

---

Ошибка 2. Неправильно работают с отрицательной степенью

Неправильно:

$$ 3^{-8}=-3^8 $$

Правильно:

$$ 3^{-8}=\frac{1}{3^8} $$

Отрицательная степень не делает число отрицательным.

---

Ошибка 3. Не замечают формулу квадрата суммы

Выражение:

$$ 9a^2+6ab+b^2 $$

нужно увидеть как:

$$ (3a+b)^2 $$

потому что:

$$ 9a^2=(3a)^2 $$

и:

$$ 6ab=2 \cdot 3a \cdot b $$

---

Ошибка 4. Неправильно объединяют корни

Правильно:

$$ \sqrt{75} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{750} $$

и:

$$ \frac{\sqrt{750}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{750}{30}} $$

---

Ошибка 5. Забывают про модуль

Вообще:

$$ \sqrt{x^2}=|x| $$

Если по условию $x$ положительное, тогда:

$$ \sqrt{x^2}=x $$

Но если неизвестно, положительное число или отрицательное, нужно быть внимательным.

---

Алгоритм решения задания 8

Чтобы решить задание 8, действуй по плану:

1. Определи тип выражения: степени, корни или формула.
2. Если есть степени — приведи числа к одному основанию.
3. Если есть отрицательная степень — замени её дробью.
4. Если есть корни — объедини их или упрости подкоренное выражение.
5. Если есть переменные — подставь значения.
6. Проверь, нет ли формулы сокращённого умножения.
7. Аккуратно вычисли ответ.

---

Мини-шпаргалка

Степени

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

$$ a^m : a^n = a^{m-n} $$

$$ (a^m)^n = a^{mn} $$

$$ a^{-n}=\frac{1}{a^n} $$

---

Корни

$$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $$

$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} $$

$$ \sqrt{a^2}=|a| $$

---

Формулы

$$ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $$

$$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $$

$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$

---

Тренировка

Задание 1

Найдите значение выражения:

$$ \frac{2^6}{16} $$

Показать ответ Так как: $$ 16=2^4 $$ то: $$ \frac{2^6}{16} = \frac{2^6}{2^4} = 2^{6-4} = 2^2 = 4 $$ Ответ: $$ 4 $$

---

Задание 2

Найдите значение выражения:

$$ \frac{\sqrt{18}\cdot\sqrt{8}}{\sqrt{4}} $$

Показать ответ $$ \frac{\sqrt{18}\cdot\sqrt{8}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{18\cdot 8}{4}} $$ $$ \frac{18\cdot 8}{4}=36 $$ $$ \sqrt{36}=6 $$ Ответ: $$ 6 $$

---

Задание 3

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{\frac{1}{9}x^4y^2} $$

при:

$$ x=3, \quad y=6 $$

Показать ответ Подставляем: $$ \sqrt{\frac{1}{9}\cdot 3^4 \cdot 6^2} $$ $$ 3^4=81 $$ $$ 6^2=36 $$ $$ \sqrt{\frac{81}{9}\cdot 36} = \sqrt{9\cdot 36} = \sqrt{324} = 18 $$ Ответ: $$ 18 $$

---

Задание 4

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{4a^2+4ab+b^2} $$

при:

$$ a=2, \quad b=5 $$

Показать ответ Заметим формулу: $$ 4a^2+4ab+b^2=(2a+b)^2 $$ Тогда: $$ \sqrt{4a^2+4ab+b^2}=2a+b $$ Подставим: $$ 2a+b=2\cdot 2+5=9 $$ Ответ: $$ 9 $$

---

Задание 5

Найдите значение выражения:

$$ \frac{1}{2^{-3}} $$

Показать ответ $$ 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} $$ Тогда: $$ \frac{1}{2^{-3}} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8 $$ Ответ: $$ 8 $$

---

Мини-тест

Вопрос 1

Найдите значение выражения:

$$ \frac{3^5}{9} $$

1. 27
2. 81
3. 243
4. 729

Правильный ответ: 1

---

Вопрос 2

Найдите значение выражения:

$$ \frac{\sqrt{20}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{4}} $$

1. 2
2. 3
3. 4
4. 5

Правильный ответ: 4

---

Вопрос 3

Чему равно:

$$ 5^{-2} $$

1. $-25$
2. $\frac{1}{25}$
3. $-\frac{1}{25}$
4. $25$

Правильный ответ: 2

---

Вопрос 4

Какой формуле равно выражение:

$$ a^2+2ab+b^2 $$

1. $(a-b)^2$
2. $a^2-b^2$
3. $(a+b)^2$
4. $a+b^2$

Правильный ответ: 3

---

Вопрос 5

Найдите значение выражения:

$$ \sqrt{9x^2} $$

при:

$$ x=4 $$

1. 6
2. 9
3. 12
4. 36

Правильный ответ: 3

---

Итог

Задание 8 ОГЭ по математике проверяет умение преобразовывать выражения.

Главное помнить:

• при умножении степеней показатели складываются;
• при делении степеней показатели вычитаются;
• отрицательная степень превращает число в дробь;
• корни можно объединять под один корень;
• формулы сокращённого умножения помогают быстро упростить выражение;
• при подстановке значений сначала считаем степени, потом корень.

Если знать основные свойства степеней и корней, задание 8 можно решить быстро и без сложных вычислений.