Что такое система счисления;

Системы счисления в информатике

Системы счисления — это одна из базовых тем школьной информатики. Она нужна для понимания того, как компьютер хранит числа, текст, изображения и другую информацию.

Кратко о теме

В этой статье разберём:

что такое система счисления;
что такое основание системы счисления;
какие системы чаще всего встречаются в информатике;
как переводить числа из одной системы в другую;
как решать типичные школьные задачи;
как проверить ответ с помощью Python.

Что такое система счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью определённых символов.

Например, мы привыкли записывать числа так:

$$ 125,\ 348,\ 2026 $$

Это числа в десятичной системе счисления.

Она называется десятичной, потому что в ней используется 10 цифр:

$$ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9 $$

Основание системы счисления

Основание системы счисления показывает, сколько разных цифр используется для записи чисел.

Например:

Система счисления	Основание	Используемые цифры
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Как записывают систему счисления

Чтобы не перепутать, в какой системе записано число, основание пишут справа снизу.

Например:

$$ 1011_2 $$

Это число записано в двоичной системе счисления.

$$ 57_8 $$

Это число записано в восьмеричной системе счисления.

$$ 245_{10} $$

Это число записано в десятичной системе счисления.

$$ 2A_{16} $$

Это число записано в шестнадцатеричной системе счисления.

Почему компьютеры используют двоичную систему

Компьютеру удобно работать только с двумя состояниями:

Состояние	Значение
сигнала нет	0
сигнал есть	1

Поэтому внутри компьютера вся информация хранится в виде нулей и единиц.

Например:

101010001101

На первый взгляд это просто набор цифр, но для компьютера это может быть:

число;
буква;
цвет пикселя;
команда программы;
часть изображения;
звук.

Десятичная система счисления

Десятичная система — это привычная нам система счисления.

Например, число:

$$ 347 $$

можно представить так:

$$ 347 = 3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 7 \cdot 1 $$

Или через степени числа 10:

$$ 347 = 3 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0 $$

Разряды в десятичной системе

Разряд	Степень	Значение
единицы	$10^0$	1
десятки	$10^1$	10
сотни	$10^2$	100
тысячи	$10^3$	1000

Например:

$$ 5284 = 5 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 $$

Считаем:

$$ 5284 = 5000 + 200 + 80 + 4 $$

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления имеет основание 2.

В ней используются только две цифры:

$$ 0 \text{ и } 1 $$

Примеры двоичных чисел:

$$ 101_2 $$

$$ 1101_2 $$

$$ 10010_2 $$

Степени двойки

Для работы с двоичной системой нужно знать степени числа 2.

Степень	Значение
$2^0$	1
$2^1$	2
$2^2$	4
$2^3$	8
$2^4$	16
$2^5$	32
$2^6$	64
$2^7$	128
$2^8$	256
$2^9$	512
$2^{10}$	1024

Перевод из двоичной системы в десятичную

Чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную, нужно разложить его по степеням двойки.

Алгоритм

Подписываем степени двойки справа налево.
Умножаем каждую цифру числа на соответствующую степень двойки.
Складываем полученные значения.

Пример 1

Переведём число:

$$ 1011_2 $$

в десятичную систему.

Подписываем степени справа налево:

Цифра	Степень двойки	Значение
1	$2^3$	8
0	$2^2$	0
1	$2^1$	2
1	$2^0$	1

Получаем:

$$ 1011_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 $$

$$ 1011_2 = 8 + 0 + 2 + 1 $$

$$ 1011_2 = 11_{10} $$

Ответ:

$$ 1011_2 = 11_{10} $$

Пример 2

Переведём число:

$$ 1101_2 $$

в десятичную систему.

Расписываем:

$$ 1101_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 $$

Считаем:

$$ 1101_2 = 8 + 4 + 0 + 1 $$

$$ 1101_2 = 13_{10} $$

Ответ:

$$ 1101_2 = 13_{10} $$

Пример 3

Переведём число:

$$ 10010_2 $$

в десятичную систему.

Расписываем:

$$ 10010_2 = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 $$

Считаем:

$$ 10010_2 = 16 + 0 + 0 + 2 + 0 $$

$$ 10010_2 = 18_{10} $$

Ответ:

$$ 10010_2 = 18_{10} $$

Перевод из десятичной системы в двоичную

Чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, нужно делить число на 2 и записывать остатки.

Алгоритм

Делим число на 2.
Записываем остаток от деления.
Полученное частное снова делим на 2.
Повторяем, пока частное не станет равно 0.
Остатки записываем снизу вверх.

Пример 1

Переведём число:

$$ 13_{10} $$

в двоичную систему.

Деление	Остаток
13 : 2 = 6	1
6 : 2 = 3	0
3 : 2 = 1	1
1 : 2 = 0	1

Теперь записываем остатки снизу вверх:

1 1 0 1

Получаем:

$$ 13_{10} = 1101_2 $$

Ответ:

$$ 13_{10} = 1101_2 $$

Пример 2

Переведём число:

$$ 25_{10} $$

в двоичную систему.

Деление	Остаток
25 : 2 = 12	1
12 : 2 = 6	0
6 : 2 = 3	0
3 : 2 = 1	1
1 : 2 = 0	1

Записываем остатки снизу вверх:

1 1 0 0 1

Получаем:

$$ 25_{10} = 11001_2 $$

Ответ:

$$ 25_{10} = 11001_2 $$

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления имеет основание 8.

В ней используются цифры:

$$ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7 $$

Важно:

В восьмеричной системе нет цифры 8.

Например:

$$ 127_8 $$

это правильная запись.

А вот:

$$ 128_8 $$

это неправильная запись, потому что цифры 8 в восьмеричной системе нет.

Перевод из восьмеричной системы в десятичную

Принцип такой же: раскладываем число по степеням основания.

Только основание теперь не 2, а 8.

Пример

Переведём число:

$$ 57_8 $$

в десятичную систему.

Расписываем:

$$ 57_8 = 5 \cdot 8^1 + 7 \cdot 8^0 $$

Считаем:

$$ 57_8 = 5 \cdot 8 + 7 \cdot 1 $$

$$ 57_8 = 40 + 7 $$

$$ 57_8 = 47_{10} $$

Ответ:

$$ 57_8 = 47_{10} $$

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16.

В ней используются 16 символов:

$$ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F $$

Буквы нужны, потому что обычных цифр от 0 до 9 не хватает.

Значения букв

Символ	Значение
A	10
B	11
C	12
D	13
E	14
F	15

Пример

Переведём число:

$$ 2A_{16} $$

в десятичную систему.

Буква A означает 10.

Расписываем:

$$ 2A_{16} = 2 \cdot 16^1 + A \cdot 16^0 $$

Подставляем значение буквы A:

$$ 2A_{16} = 2 \cdot 16 + 10 \cdot 1 $$

Считаем:

$$ 2A_{16} = 32 + 10 $$

$$ 2A_{16} = 42_{10} $$

Ответ:

$$ 2A_{16} = 42_{10} $$

Быстрый перевод между двоичной и восьмеричной системами

Восьмеричная система связана с двоичной.

Так как:

$$ 8 = 2^3 $$

то одна восьмеричная цифра заменяется на 3 двоичных разряда.

Таблица соответствия

Восьмеричная цифра	Двоичная запись
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Пример

Переведём число:

$$ 56_8 $$

в двоичную систему.

Заменяем каждую восьмеричную цифру:

Цифра	Двоичная запись
5	101
6	110

Получаем:

$$ 56_8 = 101110_2 $$

Ответ:

$$ 56_8 = 101110_2 $$

Быстрый перевод между двоичной и шестнадцатеричной системами

Шестнадцатеричная система тоже связана с двоичной.

Так как:

$$ 16 = 2^4 $$

то одна шестнадцатеричная цифра заменяется на 4 двоичных разряда.

Таблица соответствия

Шестнадцатеричная цифра	Двоичная запись
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

Пример

Переведём число:

$$ 3F_{16} $$

в двоичную систему.

Заменяем каждый символ:

Символ	Двоичная запись
3	0011
F	1111

Получаем:

$$ 3F_{16} = 00111111_2 $$

Нули в начале можно убрать:

$$ 3F_{16} = 111111_2 $$

Ответ:

$$ 3F_{16} = 111111_2 $$

Как проверить ответ с помощью Python

В Python есть готовые функции для перевода чисел.

Из десятичной системы в двоичную

n = 13

print(bin(n))

Результат:

0b1101

0b означает, что число записано в двоичной системе.

То есть:

$$ 13_{10} = 1101_2 $$

Из десятичной системы в восьмеричную

n = 47

print(oct(n))

Результат:

0o57

0o означает, что число записано в восьмеричной системе.

То есть:

$$ 47_{10} = 57_8 $$

Из десятичной системы в шестнадцатеричную

n = 42

print(hex(n))

Результат:

0x2a

0x означает, что число записано в шестнадцатеричной системе.

То есть:

$$ 42_{10} = 2A_{16} $$

Из другой системы в десятичную

Для перевода в десятичную систему используется функция int().

print(int("1101", 2))
print(int("57", 8))
print(int("2A", 16))

Результат:

13
47
42

Общий вид:

int("число", основание)

Например:

print(int("1010", 2))

Это значит:

Переведи число 1010 из двоичной системы в десятичную.

Частые ошибки учеников

Ошибка 1. Использовать запрещённые цифры

В двоичной системе можно использовать только:

$$ 0 \text{ и } 1 $$

Поэтому запись:

$$ 102_2 $$

неверная.

Почему?

Потому что в двоичной системе нет цифры 2.

Ошибка 2. Читать двоичное число как обычное

Например:

$$ 101_2 $$

Это не "сто один".

Это число в двоичной системе.

Переведём:

$$ 101_2 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 $$

$$ 101_2 = 4 + 0 + 1 $$

$$ 101_2 = 5_{10} $$

Ошибка 3. Забывать записывать остатки снизу вверх

При переводе из десятичной системы в двоичную остатки записывают снизу вверх.

Например:

Деление	Остаток
10 : 2 = 5	0
5 : 2 = 2	1
2 : 2 = 1	0
1 : 2 = 0	1

Если записать сверху вниз, получится:

Это неправильно.

Правильно записывать снизу вверх:

Значит:

$$ 10_{10} = 1010_2 $$

Мини-практика

Попробуйте решить самостоятельно.

Задание 1

Переведите число в десятичную систему:

$$ 1010_2 $$

Задание 2

Переведите число в двоичную систему:

$$ 19_{10} $$

Задание 3

Переведите число в десятичную систему:

$$ 64_8 $$

Задание 4

Переведите число в десятичную систему:

$$ 1F_{16} $$

Ответы

Ответ к заданию 1

$$ 1010_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 $$

$$ 1010_2 = 8 + 0 + 2 + 0 $$

$$ 1010_2 = 10_{10} $$

Ответ:

$$ 1010_2 = 10_{10} $$

Ответ к заданию 2

Переведём число:

$$ 19_{10} $$

в двоичную систему.

Деление	Остаток
19 : 2 = 9	1
9 : 2 = 4	1
4 : 2 = 2	0
2 : 2 = 1	0
1 : 2 = 0	1

Записываем остатки снизу вверх:

Ответ:

$$ 19_{10} = 10011_2 $$

Ответ к заданию 3

$$ 64_8 = 6 \cdot 8^1 + 4 \cdot 8^0 $$

$$ 64_8 = 48 + 4 $$

$$ 64_8 = 52_{10} $$

Ответ:

$$ 64_8 = 52_{10} $$

Ответ к заданию 4

Буква F означает 15.

$$ 1F_{16} = 1 \cdot 16^1 + F \cdot 16^0 $$

$$ 1F_{16} = 1 \cdot 16 + 15 \cdot 1 $$

$$ 1F_{16} = 31_{10} $$

Ответ:

$$ 1F_{16} = 31_{10} $$

Главное, что нужно запомнить

Что нужно знать	Объяснение
Система счисления	Способ записи чисел
Основание системы	Количество цифр в системе
Двоичная система	Использует 0 и 1
Восьмеричная система	Использует цифры от 0 до 7
Десятичная система	Использует цифры от 0 до 9
Шестнадцатеричная система	Использует цифры 0–9 и буквы A–F

Короткая шпаргалка

2-ричная система:  0, 1
8-ричная система:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10-ричная система: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
16-ричная система: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Вывод

Системы счисления помогают понять, как компьютер работает с числами и информацией.

Особенно важно уметь:

переводить числа из двоичной системы в десятичную;
переводить числа из десятичной системы в двоичную;
работать с восьмеричной и шестнадцатеричной системами;
понимать, почему компьютер использует нули и единицы.

Эта тема часто встречается в школьной информатике, контрольных, ОГЭ и ЕГЭ, поэтому её нужно хорошо отработать на примерах.

Системы счисления

Системы счисления в информатике

Кратко о теме

Что такое система счисления

Основание системы счисления

Как записывают систему счисления

Почему компьютеры используют двоичную систему

Десятичная система счисления

Разряды в десятичной системе

Двоичная система счисления

Степени двойки

Перевод из двоичной системы в десятичную

Алгоритм

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Перевод из десятичной системы в двоичную

Алгоритм

Пример 1

Пример 2

Восьмеричная система счисления

Перевод из восьмеричной системы в десятичную

Пример

Шестнадцатеричная система счисления

Значения букв

Пример

Быстрый перевод между двоичной и восьмеричной системами

Таблица соответствия

Пример

Быстрый перевод между двоичной и шестнадцатеричной системами

Таблица соответствия

Пример

Как проверить ответ с помощью Python

Из десятичной системы в двоичную

Из десятичной системы в восьмеричную

Из десятичной системы в шестнадцатеричную

Из другой системы в десятичную

Частые ошибки учеников

Ошибка 1. Использовать запрещённые цифры

Ошибка 2. Читать двоичное число как обычное

Ошибка 3. Забывать записывать остатки снизу вверх

Мини-практика

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Ответы

Ответ к заданию 1

Ответ к заданию 2

Ответ к заданию 3

Ответ к заданию 4

Главное, что нужно запомнить

Короткая шпаргалка

Вывод

Хотите, чтобы обучение дало реальный рост в оценках?