Как складывать, вычитать и умножать обыкновенные дроби

Обыкновенные дроби часто встречаются в школьной математике. Чтобы уверенно решать задания, нужно понимать три действия: сложение, вычитание и умножение дробей.

---

1. Что такое обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь записывается так:

$$ \frac{a}{b} $$

где:

• a — числитель;
• b — знаменатель;
• знаменатель не может быть равен нулю.

Например:

$$ \frac{3}{5} $$

Это значит, что целое разделили на 5 равных частей и взяли 3 части.

---

2. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Правило

Если знаменатели одинаковые, то:

• числители складываем;
• знаменатель оставляем тем же.

$$ \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c} $$

---

Пример 1

$$ \frac{2}{7}+\frac{3}{7} $$

Знаменатели одинаковые — это число 7.

Складываем только числители:

$$ 2+3=5 $$

Получаем:

$$ \frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7} $$

---

Ответ

$$ \frac{5}{7} $$

---

3. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило

Если знаменатели одинаковые, то:

• из одного числителя вычитаем другой;
• знаменатель оставляем тем же.

$$ \frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c} $$

---

Пример 2

$$ \frac{6}{9}-\frac{2}{9} $$

Знаменатели одинаковые — 9.

Вычитаем числители:

$$ 6-2=4 $$

Получаем:

$$ \frac{6}{9}-\frac{2}{9}=\frac{4}{9} $$

---

Ответ

$$ \frac{4}{9} $$

---

4. Сложение дробей с разными знаменателями

Главное правило

Если знаменатели разные, сначала нужно привести дроби к общему знаменателю.

---

Что такое общий знаменатель

Общий знаменатель — это число, которое делится на оба знаменателя.

Например, для дробей:

$$ \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \frac{1}{6} $$

общий знаменатель — 6, потому что:

$$ 6:3=2 $$

и

$$ 6:6=1 $$

---

Пример 3

Сложим дроби:

$$ \frac{1}{3}+\frac{1}{6} $$

Знаменатели разные: 3 и 6.

Общий знаменатель — 6.

Первую дробь нужно привести к знаменателю 6:

$$ \frac{1}{3}=\frac{2}{6} $$

Почему?

Потому что числитель и знаменатель умножили на 2:

$$ \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}=\frac{2}{6} $$

Теперь складываем:

$$ \frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6} $$

Дробь можно сократить:

$$ \frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$

---

Ответ

$$ \frac{1}{2} $$

---

5. Вычитание дробей с разными знаменателями

Правило

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями:

1. Найти общий знаменатель.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Вычесть числители.
4. При необходимости сократить дробь.

---

Пример 4

Вычислим:

$$ \frac{5}{8}-\frac{1}{4} $$

Знаменатели разные: 8 и 4.

Общий знаменатель — 8.

Вторую дробь приводим к знаменателю 8:

$$ \frac{1}{4}=\frac{2}{8} $$

Теперь вычитаем:

$$ \frac{5}{8}-\frac{2}{8}=\frac{3}{8} $$

---

Ответ

$$ \frac{3}{8} $$

---

6. Как быстро находить общий знаменатель

Чаще всего удобно брать число, которое делится на оба знаменателя.

---

Пример

Для дробей:

$$ \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad \frac{1}{6} $$

можно взять общий знаменатель 12, потому что:

$$ 12:4=3 $$

и

$$ 12:6=2 $$

---

Пример 5

$$ \frac{1}{4}+\frac{1}{6} $$

Приводим первую дробь к знаменателю 12:

$$ \frac{1}{4}=\frac{3}{12} $$

Приводим вторую дробь к знаменателю 12:

$$ \frac{1}{6}=\frac{2}{12} $$

Складываем:

$$ \frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12} $$

---

Ответ

$$ \frac{5}{12} $$

---

7. Умножение обыкновенных дробей

Правило

Чтобы умножить дроби, нужно:

• числитель умножить на числитель;
• знаменатель умножить на знаменатель.

$$ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$

---

Пример 6

$$ \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5} $$

Умножаем числители:

$$ 2 \cdot 4=8 $$

Умножаем знаменатели:

$$ 3 \cdot 5=15 $$

Получаем:

$$ \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15} $$

---

Ответ

$$ \frac{8}{15} $$

---

8. Умножение дроби на целое число

Целое число можно представить как дробь со знаменателем 1.

Например:

$$ 3=\frac{3}{1} $$

---

Пример 7

$$ \frac{2}{5}\cdot 3 $$

Заменим число 3 дробью:

$$ 3=\frac{3}{1} $$

Теперь умножаем:

$$ \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{1}=\frac{6}{5} $$

Получили неправильную дробь:

$$ \frac{6}{5} $$

Её можно записать как смешанное число:

$$ \frac{6}{5}=1\frac{1}{5} $$

---

Ответ

$$ 1\frac{1}{5} $$

---

9. Сокращение дробей

После вычислений дробь часто можно сократить.

Что значит сократить дробь

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

---

Пример 8

$$ \frac{6}{8} $$

Числитель и знаменатель можно разделить на 2:

$$ 6:2=3 $$

$$ 8:2=4 $$

Значит:

$$ \frac{6}{8}=\frac{3}{4} $$

---

Ответ

$$ \frac{3}{4} $$

---

10. Умножение дробей с сокращением

Иногда удобно сокращать до умножения.

---

Пример 9

$$ \frac{3}{8}\cdot \frac{4}{9} $$

Можно сразу перемножить:

$$ \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 9}=\frac{12}{72} $$

Потом сократить:

$$ \frac{12}{72}=\frac{1}{6} $$

Но можно сделать быстрее.

Сократим 4 и 8:

$$ \frac{4}{8}=\frac{1}{2} $$

Сократим 3 и 9:

$$ \frac{3}{9}=\frac{1}{3} $$

Тогда получится:

$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6} $$

---

Ответ

$$ \frac{1}{6} $$

---

11. Смешанные числа

Смешанное число состоит из целой части и дробной части.

Например:

$$ 2\frac{1}{3} $$

Это значит:

$$ 2+\frac{1}{3} $$

---

12. Как перевести смешанное число в неправильную дробь

Правило

Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь:

1. Целую часть умножаем на знаменатель.
2. Прибавляем числитель.
3. Результат записываем в числитель.
4. Знаменатель оставляем прежним.

---

Пример 10

Переведём:

$$ 2\frac{1}{3} $$

Целая часть — 2.

Знаменатель — 3.

Числитель — 1.

Считаем:

$$ 2 \cdot 3 + 1 = 7 $$

Значит:

$$ 2\frac{1}{3}=\frac{7}{3} $$

---

13. Сложение смешанных чисел

Пример 11

$$ 1\frac{1}{4}+2\frac{2}{4} $$

Складываем целые части:

$$ 1+2=3 $$

Складываем дробные части:

$$ \frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4} $$

Получаем:

$$ 3\frac{3}{4} $$

---

Ответ

$$ 3\frac{3}{4} $$

---

14. Вычитание смешанных чисел

Пример 12

$$ 4\frac{3}{5}-1\frac{1}{5} $$

Вычитаем целые части:

$$ 4-1=3 $$

Вычитаем дробные части:

$$ \frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{2}{5} $$

Получаем:

$$ 3\frac{2}{5} $$

---

Ответ

$$ 3\frac{2}{5} $$

---

15. Умножение смешанных чисел

Чтобы умножить смешанные числа, удобнее сначала перевести их в неправильные дроби.

---

Пример 13

$$ 1\frac{1}{2}\cdot 2\frac{1}{3} $$

Переводим первое число:

$$ 1\frac{1}{2}=\frac{3}{2} $$

Переводим второе число:

$$ 2\frac{1}{3}=\frac{7}{3} $$

Теперь умножаем:

$$ \frac{3}{2}\cdot \frac{7}{3} $$

Сокращаем 3 и 3:

$$ \frac{1}{2}\cdot 7=\frac{7}{2} $$

Переводим в смешанное число:

$$ \frac{7}{2}=3\frac{1}{2} $$

---

Ответ

$$ 3\frac{1}{2} $$

---

16. Самые частые ошибки

Ошибка 1. Складывают знаменатели

Неправильно:

$$ \frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{6} $$

Правильно:

$$ \frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель не меняется.

---

Ошибка 2. Не приводят к общему знаменателю

Неправильно:

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5} $$

Правильно:

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{3} $$

Общий знаменатель — 6:

$$ \frac{1}{2}=\frac{3}{6} $$

$$ \frac{1}{3}=\frac{2}{6} $$

Тогда:

$$ \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6} $$

---

Ошибка 3. При умножении ищут общий знаменатель

Для умножения общий знаменатель не нужен.

Правильно:

$$ \frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21} $$

---

17. Краткая памятка

Сложение дробей

Если знаменатели одинаковые:

$$ \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c} $$

Если знаменатели разные — сначала приводим к общему знаменателю.

---

Вычитание дробей

Если знаменатели одинаковые:

$$ \frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c} $$

Если знаменатели разные — сначала приводим к общему знаменателю.

---

Умножение дробей

$$ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$

---

18. Задания для самостоятельной работы

Задание 1

Вычислите:

$$ \frac{2}{9}+\frac{4}{9} $$

---

Задание 2

Вычислите:

$$ \frac{7}{10}-\frac{3}{10} $$

---

Задание 3

Вычислите:

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{4} $$

---

Задание 4

Вычислите:

$$ \frac{5}{6}-\frac{1}{3} $$

---

Задание 5

Вычислите:

$$ \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{5} $$

---

Задание 6

Вычислите:

$$ 2\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{7} $$

---

19. Ответы

Ответ к заданию 1

$$ \frac{2}{9}+\frac{4}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} $$

---

Ответ к заданию 2

$$ \frac{7}{10}-\frac{3}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} $$

---

Ответ к заданию 3

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{2}{4}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

---

Ответ к заданию 4

$$ \frac{5}{6}-\frac{1}{3} = \frac{5}{6}-\frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

---

Ответ к заданию 5

$$ \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $$

---

Ответ к заданию 6

Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь:

$$ 2\frac{1}{3}=\frac{7}{3} $$

Теперь умножаем:

$$ \frac{7}{3}\cdot \frac{3}{7}=1 $$

---

20. Итог

Чтобы правильно работать с обыкновенными дробями, запомните:

• при сложении и вычитании нужен общий знаменатель;
• если знаменатели одинаковые, складываем или вычитаем только числители;
• при умножении дробей общий знаменатель не нужен;
• после вычисления дробь нужно сокращать, если это возможно.

Обыкновенные дроби становятся простыми, если решать их по шагам.