Подробная статья для школьников об отрицательных числах: что такое отрицательные числа, как сравнивать их на координатной прямой, находить модуль, выполнять сложение, вычитание, умножение и деление.
Отрицательные числа
Отрицательные числа встречаются в температуре, долгах, высоте ниже уровня моря, балансе телефона и на координатной прямой. Чтобы не ошибаться, важно понять, где находятся отрицательные числа и как с ними выполнять действия.
Что такое отрицательные числа
Отрицательные числа — это числа, которые меньше нуля.
Например:
$$ -1,\ -2,\ -5,\ -10,\ -100 $$
Число со знаком минус называется отрицательным числом.
Где встречаются отрицательные числа
Отрицательные числа часто встречаются в жизни.
| Ситуация | Пример |
|---|---|
| Температура ниже нуля | $-8^\circ C$ |
| Долг | $-500$ рублей |
| Подвал или этаж ниже первого | $-1$ этаж |
| Глубина ниже уровня моря | $-30$ м |
| Проигрыш в игре | $-5$ очков |
Положительные, отрицательные числа и ноль
Числа бывают:
- положительные — больше нуля;
- отрицательные — меньше нуля;
- ноль — не положительный и не отрицательный.
Примеры
Положительные числа:
$$ 1,\ 4,\ 15,\ 100 $$
Отрицательные числа:
$$ -1,\ -4,\ -15,\ -100 $$
Ноль:
$$ 0 $$
Координатная прямая
Отрицательные числа удобно показывать на координатной прямой.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
Числа справа от нуля — положительные.
Числа слева от нуля — отрицательные.
Важное правило
Чем правее число на координатной прямой, тем оно больше.
Например:
$$ 3 > 1 $$
А среди отрицательных чисел:
$$ -1 > -5 $$
Потому что $-1$ находится правее, чем $-5$.
Сравнение отрицательных чисел
Многие ученики ошибаются и думают, что:
$$ -10 > -2 $$
Но это неверно.
На самом деле:
$$ -10 < -2 $$
Потому что $-10$ находится левее на координатной прямой.
Пример 1
Сравним числа:
$$ -3 \quad \text{и} \quad -7 $$
На координатной прямой число $-3$ находится правее числа $-7$.
Значит:
$$ -3 > -7 $$
Ответ:
$$ -3 > -7 $$
Пример 2
Сравним числа:
$$ -12 \quad \text{и} \quad -5 $$
Число $-12$ находится левее числа $-5$.
Значит:
$$ -12 < -5 $$
Ответ:
$$ -12 < -5 $$
Модуль числа
Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на координатной прямой.
Модуль обозначается двумя вертикальными чертами:
$$ |a| $$
Примеры
$$ |5| = 5 $$
$$ |-5| = 5 $$
$$ |0| = 0 $$
Модуль всегда неотрицательный, потому что расстояние не может быть отрицательным.
Противоположные числа
Противоположные числа — это числа, которые находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны.
Например:
$$ 5 \text{ и } -5 $$
$$ 12 \text{ и } -12 $$
$$ 0 \text{ и } 0 $$
Сложение отрицательных чисел
Если складываем два отрицательных числа, то:
- складываем их модули;
- ставим знак минус.
Пример 3
Вычислим:
$$ -4 + (-6) $$
Складываем модули:
$$ 4 + 6 = 10 $$
Ставим минус:
$$ -10 $$
Ответ:
$$ -4 + (-6) = -10 $$
Сложение чисел с разными знаками
Если складываем числа с разными знаками, то:
- из большего модуля вычитаем меньший;
- ставим знак числа с большим модулем.
Пример 4
Вычислим:
$$ -8 + 3 $$
Модули чисел:
$$ |-8| = 8 $$
$$ |3| = 3 $$
Больший модуль у числа $-8$, значит в ответе будет минус.
Вычитаем:
$$ 8 - 3 = 5 $$
Ответ:
$$ -8 + 3 = -5 $$
Пример 5
Вычислим:
$$ -4 + 10 $$
Модули чисел:
$$ |-4| = 4 $$
$$ |10| = 10 $$
Больший модуль у числа $10$, значит в ответе будет плюс.
Вычитаем:
$$ 10 - 4 = 6 $$
Ответ:
$$ -4 + 10 = 6 $$
Вычитание отрицательных чисел
Вычитание можно заменить сложением противоположного числа.
Главное правило:
$$ a - b = a + (-b) $$
Пример 6
Вычислим:
$$ 7 - 10 $$
Это значит, что от 7 нужно отнять 10.
Получим:
$$ 7 - 10 = -3 $$
Ответ:
$$ -3 $$
Пример 7
Вычислим:
$$ 5 - (-3) $$
Минус перед отрицательным числом превращается в плюс:
$$ 5 - (-3) = 5 + 3 $$
$$ 5 + 3 = 8 $$
Ответ:
$$ 8 $$
Пример 8
Вычислим:
$$ -6 - 4 $$
Это то же самое, что:
$$ -6 + (-4) $$
Складываем два отрицательных числа:
$$ -6 + (-4) = -10 $$
Ответ:
$$ -10 $$
Умножение отрицательных чисел
Для умножения важно помнить правила знаков.
Правила знаков при умножении
| Пример | Знак ответа |
|---|---|
| $+ \cdot +$ | $+$ |
| $- \cdot -$ | $+$ |
| $+ \cdot -$ | $-$ |
| $- \cdot +$ | $-$ |
Пример 9
Вычислим:
$$ -3 \cdot 4 $$
Разные знаки дают минус:
$$ -3 \cdot 4 = -12 $$
Ответ:
$$ -12 $$
Пример 10
Вычислим:
$$ -5 \cdot (-2) $$
Два минуса дают плюс:
$$ -5 \cdot (-2) = 10 $$
Ответ:
$$ 10 $$
Деление отрицательных чисел
При делении работают такие же правила знаков, как при умножении.
Пример 11
Вычислим:
$$ -20 : 4 $$
Разные знаки дают минус:
$$ -20 : 4 = -5 $$
Ответ:
$$ -5 $$
Пример 12
Вычислим:
$$ -18 : (-3) $$
Два минуса дают плюс:
$$ -18 : (-3) = 6 $$
Ответ:
$$ 6 $$
Как раскрывать скобки с минусом
Если перед скобками стоит плюс, знаки внутри скобок не меняются.
$$ +(a - b) = a - b $$
Если перед скобками стоит минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные.
$$ -(a - b) = -a + b $$
Пример 13
Раскроем скобки:
$$ -(5 - 7) $$
Меняем знаки внутри скобок:
$$ -(5 - 7) = -5 + 7 $$
$$ -5 + 7 = 2 $$
Ответ:
$$ 2 $$
Пример 14
Раскроем скобки:
$$ -(-3 + 8) $$
Меняем знаки внутри скобок:
$$ -(-3 + 8) = 3 - 8 $$
$$ 3 - 8 = -5 $$
Ответ:
$$ -5 $$
Типичные ошибки
Ошибка 1. Неправильно сравнивают отрицательные числа
Неверно:
$$ -10 > -2 $$
Правильно:
$$ -10 < -2 $$
Чем левее число на координатной прямой, тем оно меньше.
Ошибка 2. Забывают, что два минуса дают плюс
Неверно:
$$ 5 - (-3) = 2 $$
Правильно:
$$ 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 $$
Ошибка 3. При умножении двух отрицательных чисел ставят минус
Неверно:
$$ -4 \cdot (-2) = -8 $$
Правильно:
$$ -4 \cdot (-2) = 8 $$
Ошибка 4. Неправильно раскрывают скобки
Неверно:
$$ -(x - 5) = -x - 5 $$
Правильно:
$$ -(x - 5) = -x + 5 $$
Как считать без ошибок
Чтобы правильно работать с отрицательными числами:
- Представляй числа на координатной прямой.
- Помни: справа — больше, слева — меньше.
- При сложении чисел с разными знаками сравнивай модули.
- При умножении и делении следи за знаками.
- Если перед скобкой минус — меняй все знаки внутри скобок.
Примеры для самостоятельной работы
Реши примеры самостоятельно.
Задание 1
Сравни числа:
$$ -4 \quad \text{и} \quad -9 $$
Задание 2
Вычисли:
$$ -7 + (-5) $$
Задание 3
Вычисли:
$$ -12 + 8 $$
Задание 4
Вычисли:
$$ 6 - (-4) $$
Задание 5
Вычисли:
$$ -3 \cdot (-6) $$
Задание 6
Вычисли:
$$ -24 : 8 $$
Ответы
1
$$ -4 > -9 $$
Потому что $-4$ находится правее числа $-9$.
2
$$ -7 + (-5) = -12 $$
3
$$ -12 + 8 = -4 $$
4
$$ 6 - (-4) = 6 + 4 = 10 $$
5
$$ -3 \cdot (-6) = 18 $$
6
$$ -24 : 8 = -3 $$
Мини-тест
Вопрос 1
Какое число больше?
$$ -2 \quad \text{или} \quad -8 $$
- $-2$
- $-8$
- Они равны
- Нельзя сравнить
Правильный ответ: 1
Вопрос 2
Чему равно?
$$ -5 + (-4) $$
- $-1$
- $1$
- $-9$
- $9$
Правильный ответ: 3
Вопрос 3
Чему равно?
$$ 7 - (-2) $$
- $5$
- $9$
- $-9$
- $-5$
Правильный ответ: 2
Вопрос 4
Чему равно?
$$ -6 \cdot (-3) $$
- $-18$
- $18$
- $-9$
- $9$
Правильный ответ: 2
Итог
Отрицательные числа — это числа меньше нуля.
На координатной прямой они находятся слева от нуля.
Главное:
- чем правее число, тем оно больше;
- при сложении чисел с разными знаками сравниваем модули;
- два минуса при умножении или делении дают плюс;
- если перед скобками стоит минус, знаки внутри скобок меняются.
Отрицательные числа нужны для решения уравнений, неравенств, задач на координатную прямую и многих тем алгебры.
Возможно вы хотите повторить: