Пропорции и отношения

Пропорции и отношения часто встречаются в задачах на скорость, масштаб, рецепты, проценты, карты и сравнение величин. Если понять, как связаны числа между собой, многие задачи становятся намного проще.

---

Что такое отношение

Отношение показывает, во сколько раз одно число больше или меньше другого.

Отношение двух чисел записывают так:

$$ a:b $$

или так:

$$ \frac{a}{b} $$

Читается:

отношение числа $a$ к числу $b$.

---

Пример отношения

Пусть у нас есть 12 яблок и 4 груши.

Отношение количества яблок к количеству груш:

$$ 12:4 $$

Это значит:

$$ 12:4 = 3 $$

То есть яблок в 3 раза больше, чем груш.

---

Отношение можно сокращать

Отношение похоже на дробь, поэтому его можно сокращать.

Например:

$$ 12:8 $$

Запишем как дробь:

$$ \frac{12}{8} $$

Сократим на 4:

$$ \frac{12}{8} = \frac{3}{2} $$

Значит:

$$ 12:8 = 3:2 $$

---

Пример 1

Сократим отношение:

$$ 18:24 $$

Запишем как дробь:

$$ \frac{18}{24} $$

Оба числа делятся на 6:

$$ \frac{18}{24} = \frac{3}{4} $$

Ответ:

$$ 18:24 = 3:4 $$

---

Что такое пропорция

Пропорция — это равенство двух отношений.

Например:

$$ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} $$

Или можно записать так:

$$ 2:3 = 4:6 $$

Это пропорция, потому что оба отношения равны одному и тому же числу.

---

Главное свойство пропорции

В пропорции:

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$$ a \cdot d = b \cdot c $$

---

Как запомнить

В пропорции:

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

числа $a$ и $d$ — крайние, а числа $b$ и $c$ — средние.

То есть:

$$ a \cdot d = b \cdot c $$

---

Пример 2

Проверим, является ли равенство пропорцией:

$$ \frac{3}{5} = \frac{9}{15} $$

Используем главное свойство пропорции.

Перемножим крест-накрест:

$$ 3 \cdot 15 = 45 $$

$$ 5 \cdot 9 = 45 $$

Получили одинаковые значения:

$$ 45 = 45 $$

Значит, это пропорция.

Ответ:

$$ \frac{3}{5} = \frac{9}{15} $$

---

Как найти неизвестный член пропорции

Если в пропорции одно число неизвестно, его можно найти с помощью умножения крест-накрест.

---

Пример 3

Решим пропорцию:

$$ \frac{x}{5} = \frac{6}{10} $$

Перемножим крест-накрест:

$$ 10x = 5 \cdot 6 $$

$$ 10x = 30 $$

Разделим обе части на 10:

$$ x = 3 $$

Ответ:

$$ x = 3 $$

---

Пример 4

Решим пропорцию:

$$ \frac{4}{x} = \frac{8}{12} $$

Перемножим крест-накрест:

$$ 4 \cdot 12 = 8x $$

$$ 48 = 8x $$

Разделим обе части на 8:

$$ x = 6 $$

Ответ:

$$ x = 6 $$

---

Прямая пропорциональность

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной величины другая увеличивается во столько же раз.

Например:

• чем больше тетрадей покупаем, тем больше платим;
• чем больше часов работает человек, тем больше получает денег;
• чем больше товара, тем больше его масса.

---

Пример прямой пропорциональности

Одна тетрадь стоит 20 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей?

Если одна тетрадь стоит:

$$ 20 $$

то 5 тетрадей стоят:

$$ 20 \cdot 5 = 100 $$

Ответ:

$$ 100 \text{ рублей} $$

---

Задача 1

За 3 кг яблок заплатили 240 рублей. Сколько стоят 5 кг таких яблок?

---

Решение

Сначала найдём цену 1 кг:

$$ 240 : 3 = 80 $$

Один килограмм стоит 80 рублей.

Теперь найдём стоимость 5 кг:

$$ 80 \cdot 5 = 400 $$

Ответ:

$$ 400 \text{ рублей} $$

---

Решение через пропорцию

Эту же задачу можно решить через пропорцию.

Пусть 5 кг яблок стоят $x$ рублей.

Запишем:

$$ \frac{3}{240} = \frac{5}{x} $$

Перемножим крест-накрест:

$$ 3x = 240 \cdot 5 $$

$$ 3x = 1200 $$

$$ x = 400 $$

Ответ:

$$ 400 \text{ рублей} $$

---

Обратная пропорциональность

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной величины другая уменьшается во столько же раз.

Например:

• чем больше рабочих, тем меньше времени нужно на работу;
• чем больше скорость, тем меньше время в пути;
• чем больше труб наполняют бассейн, тем быстрее он наполнится.

---

Пример обратной пропорциональности

Один рабочий выполняет работу за 12 часов. За сколько часов выполнят эту работу 3 рабочих, если работают одинаково?

Если рабочих стало в 3 раза больше, то времени нужно в 3 раза меньше:

$$ 12 : 3 = 4 $$

Ответ:

$$ 4 \text{ часа} $$

---

Задача 2

Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч и проходит путь за 4 часа. За сколько часов он проедет тот же путь со скоростью 80 км/ч?

---

Решение

Сначала найдём расстояние:

$$ 60 \cdot 4 = 240 $$

Расстояние равно 240 км.

Теперь найдём время при скорости 80 км/ч:

$$ 240 : 80 = 3 $$

Ответ:

$$ 3 \text{ часа} $$

---

Масштаб

Пропорции часто используют в задачах на масштаб.

Масштаб показывает, во сколько раз изображение меньше или больше настоящего объекта.

Например:

$$ 1:100 $$

Это значит, что 1 см на чертеже соответствует 100 см в реальности.

---

Пример 5

Масштаб карты:

$$ 1:100000 $$

Это значит:

$$ 1 \text{ см на карте} = 100000 \text{ см в реальности} $$

Так как:

$$ 100000 \text{ см} = 1000 \text{ м} = 1 \text{ км} $$

Значит:

$$ 1 \text{ см на карте} = 1 \text{ км в реальности} $$

---

Задача 3

На карте расстояние между двумя городами равно 6 см. Масштаб карты:

$$ 1:100000 $$

Найдите настоящее расстояние между городами.

---

Решение

По масштабу:

$$ 1 \text{ см} = 1 \text{ км} $$

Тогда:

$$ 6 \text{ см} = 6 \text{ км} $$

Ответ:

$$ 6 \text{ км} $$

---

Отношение частей

Иногда в задаче говорится, что величина разделена в некотором отношении.

Например:

$$ 2:3 $$

Это значит, что вся величина состоит из:

$$ 2 + 3 = 5 $$

равных частей.

---

Задача 4

Сумму 100 рублей разделили в отношении:

$$ 2:3 $$

Найдите каждую часть.

---

Решение

Сначала найдём общее количество частей:

$$ 2 + 3 = 5 $$

Теперь найдём одну часть:

$$ 100 : 5 = 20 $$

Первая часть:

$$ 2 \cdot 20 = 40 $$

Вторая часть:

$$ 3 \cdot 20 = 60 $$

Ответ:

$$ 40 \text{ рублей и } 60 \text{ рублей} $$

---

Задача 5

В классе мальчики и девочки относятся как:

$$ 3:5 $$

Всего в классе 32 ученика. Сколько мальчиков и сколько девочек?

---

Решение

Общее количество частей:

$$ 3 + 5 = 8 $$

Одна часть:

$$ 32 : 8 = 4 $$

Мальчики:

$$ 3 \cdot 4 = 12 $$

Девочки:

$$ 5 \cdot 4 = 20 $$

Ответ:

$$ 12 \text{ мальчиков и } 20 \text{ девочек} $$

---

Типичные ошибки

Ошибка 1. Путают порядок в отношении

Если сказано, что яблоки и груши относятся как:

$$ 3:2 $$

то первое число относится к яблокам, а второе — к грушам.

Нельзя менять местами числа без причины.

---

Ошибка 2. Не сокращают отношение

Например:

$$ 12:18 $$

Лучше сократить:

$$ 12:18 = 2:3 $$

Так отношение становится проще.

---

Ошибка 3. Неправильно используют пропорцию

В пропорции важно правильно расставить величины.

Если килограммы стоят рубли, то килограммы нужно сравнивать с килограммами, а рубли — с рублями.

Правильно:

$$ \frac{3}{240} = \frac{5}{x} $$

или

$$ \frac{240}{3} = \frac{x}{5} $$

Главное — не смешивать величины.

---

Как решать задачи на пропорции

1. Определи, какие величины сравниваются.
2. Проверь, это прямая или обратная пропорциональность.
3. Запиши пропорцию.
4. Перемножь крест-накрест.
5. Найди неизвестное число.
6. Проверь, подходит ли ответ по смыслу.

---

Примеры для самостоятельной работы

Реши задачи самостоятельно.

---

Задание 1

Сократи отношение:

$$ 20:30 $$

---

Задание 2

Реши пропорцию:

$$ \frac{x}{4} = \frac{9}{12} $$

---

Задание 3

За 4 кг конфет заплатили 600 рублей. Сколько стоят 7 кг таких конфет?

---

Задание 4

Сумму 180 рублей разделили в отношении:

$$ 4:5 $$

Найдите каждую часть.

---

Задание 5

6 рабочих выполняют работу за 10 дней. За сколько дней выполнят эту работу 3 рабочих?

---

Ответы

1

$$ 20:30 = 2:3 $$

---

2

$$ \frac{x}{4} = \frac{9}{12} $$

Перемножим крест-накрест:

$$ 12x = 4 \cdot 9 $$

$$ 12x = 36 $$

$$ x = 3 $$

Ответ:

$$ x = 3 $$

---

3

Сначала найдём цену 1 кг:

$$ 600 : 4 = 150 $$

Теперь найдём цену 7 кг:

$$ 150 \cdot 7 = 1050 $$

Ответ:

$$ 1050 \text{ рублей} $$

---

4

Общее количество частей:

$$ 4 + 5 = 9 $$

Одна часть:

$$ 180 : 9 = 20 $$

Первая часть:

$$ 4 \cdot 20 = 80 $$

Вторая часть:

$$ 5 \cdot 20 = 100 $$

Ответ:

$$ 80 \text{ рублей и } 100 \text{ рублей} $$

---

5

Если рабочих стало в 2 раза меньше, времени нужно в 2 раза больше.

$$ 10 \cdot 2 = 20 $$

Ответ:

$$ 20 \text{ дней} $$

---

Мини-тест

Вопрос 1

Что показывает отношение двух чисел?

1. Сумму чисел
2. Разность чисел
3. Во сколько раз одно число больше или меньше другого
4. Произведение чисел

Правильный ответ: 3

---

Вопрос 2

Как можно сократить отношение?

$$ 15:25 $$

1. $1:5$
2. $3:5$
3. $5:3$
4. $15:5$

Правильный ответ: 2

---

Вопрос 3

Что такое пропорция?

1. Равенство двух отношений
2. Сумма двух дробей
3. Произведение чисел
4. Разность величин

Правильный ответ: 1

---

Вопрос 4

Решите пропорцию:

$$ \frac{x}{6} = \frac{2}{3} $$

1. $x = 2$
2. $x = 3$
3. $x = 4$
4. $x = 6$

Правильный ответ: 3

---

Итог

Отношение показывает, как две величины связаны между собой.

Пропорция — это равенство двух отношений.

Главное свойство пропорции:

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

тогда:

$$ a \cdot d = b \cdot c $$

Пропорции помогают решать задачи на покупки, скорость, масштаб, работу, деление суммы и многие жизненные ситуации.

Рассмотрите также темы:

• Как складывать, вычитать и умножать обыкновенные дроби
• Десятичные дроби: как считать без ошибок
• Проценты: как находить процент от числа