Десятичные дроби: как считать без ошибок

Десятичные дроби встречаются в задачах на деньги, длину, массу, скорость, проценты и измерения. Чтобы не ошибаться, важно правильно ставить запятую и аккуратно выполнять действия.

---

Что такое десятичная дробь

Десятичная дробь — это число, в котором есть целая часть и дробная часть.

Например:

$$ 3{,}5 $$

Это значит:

$$ 3{,}5 = 3 + 0{,}5 $$

Читается так: три целых пять десятых.

---

Примеры десятичных дробей

Число	Как читается
$2{,}4$	две целых четыре десятых
$5{,}08$	пять целых восемь сотых
$0{,}7$	ноль целых семь десятых
$12{,}345$	двенадцать целых триста сорок пять тысячных

---

Разряды после запятой

После запятой идут:

• десятые;
• сотые;
• тысячные;
• десятитысячные.

Рассмотрим число:

$$ 24{,}637 $$

Цифра	Разряд
2	десятки
4	единицы
6	десятые
3	сотые
7	тысячные

То есть:

$$ 24{,}637 = 24 + 0{,}6 + 0{,}03 + 0{,}007 $$

---

Сравнение десятичных дробей

Чтобы сравнить десятичные дроби, нужно сравнивать числа по порядку:

1. целые части;
2. десятые;
3. сотые;
4. тысячные.

---

Пример 1

Сравним числа:

$$ 4{,}7 \quad \text{и} \quad 4{,}65 $$

У первого числа можно дописать ноль:

$$ 4{,}7 = 4{,}70 $$

Теперь сравним:

$$ 4{,}70 > 4{,}65 $$

Ответ:

$$ 4{,}7 > 4{,}65 $$

---

Важное правило

Если после запятой добавить нули, число не изменится.

$$ 3{,}5 = 3{,}50 = 3{,}500 $$

Это удобно при сравнении, сложении и вычитании.

---

Сложение десятичных дробей

При сложении десятичных дробей главное правило:

Запятую записываем под запятой.

---

Пример 2

Вычислим:

$$ 3{,}45 + 2{,}7 $$

Запишем второе число как:

$$ 2{,}7 = 2{,}70 $$

Теперь складываем:

  3,45
+ 2,70
------
  6,15

Ответ:

$$ 3{,}45 + 2{,}7 = 6{,}15 $$

---

Вычитание десятичных дробей

При вычитании тоже важно записывать запятую под запятой.

---

Пример 3

Вычислим:

$$ 8{,}3 - 2{,}75 $$

Запишем:

$$ 8{,}3 = 8{,}30 $$

Вычитаем:

  8,30
- 2,75
------
  5,55

Ответ:

$$ 8{,}3 - 2{,}75 = 5{,}55 $$

---

Умножение десятичных дробей

Чтобы умножить десятичные дроби, нужно:

1. умножить числа, как будто запятых нет;
2. посчитать, сколько всего цифр после запятой было в двух множителях;
3. поставить запятую в ответе.

---

Пример 4

Вычислим:

$$ 2{,}4 \cdot 1{,}3 $$

Сначала убираем запятые:

$$ 24 \cdot 13 = 312 $$

Теперь считаем цифры после запятой:

• в числе $2{,}4$ — одна цифра после запятой;
• в числе $1{,}3$ — одна цифра после запятой.

Всего:

$$ 1 + 1 = 2 $$

Значит, в ответе должно быть 2 цифры после запятой:

$$ 3{,}12 $$

Ответ:

$$ 2{,}4 \cdot 1{,}3 = 3{,}12 $$

---

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000

Если умножаем десятичную дробь на $10$, $100$, $1000$, то запятая переносится вправо.

---

Примеры

$$ 3{,}45 \cdot 10 = 34{,}5 $$

$$ 3{,}45 \cdot 100 = 345 $$

$$ 3{,}45 \cdot 1000 = 3450 $$

---

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

Если делим десятичную дробь на $10$, $100$, $1000$, то запятая переносится влево.

---

Примеры

$$ 45{,}6 : 10 = 4{,}56 $$

$$ 45{,}6 : 100 = 0{,}456 $$

$$ 45{,}6 : 1000 = 0{,}0456 $$

---

Деление десятичной дроби на натуральное число

Делим как обычные числа, но запятую в ответе ставим тогда, когда заканчивается целая часть.

---

Пример 5

Вычислим:

$$ 6{,}4 : 2 $$

Делим:

6,4 : 2 = 3,2

Проверка:

$$ 3{,}2 \cdot 2 = 6{,}4 $$

Ответ:

$$ 6{,}4 : 2 = 3{,}2 $$

---

Деление на десятичную дробь

Если нужно разделить на десятичную дробь, сначала избавляемся от запятой в делителе.

---

Пример 6

Вычислим:

$$ 4{,}8 : 0{,}6 $$

Чтобы в делителе не было запятой, умножим оба числа на $10$:

$$ 4{,}8 : 0{,}6 = 48 : 6 $$

Теперь считаем:

$$ 48 : 6 = 8 $$

Ответ:

$$ 4{,}8 : 0{,}6 = 8 $$

---

Округление десятичных дробей

Иногда нужно округлить десятичную дробь до целых, десятых или сотых.

---

Правило округления

Если следующая цифра:

• $0, 1, 2, 3, 4$ — число не меняем;
• $5, 6, 7, 8, 9$ — увеличиваем нужную цифру на $1$.

---

Пример 7

Округлим число до десятых:

$$ 3{,}47 $$

Нам нужен один знак после запятой:

$$ 3{,}4 $$

Смотрим на следующую цифру — это $7$.

Так как $7 \ge 5$, увеличиваем $4$ на $1$:

$$ 3{,}47 \approx 3{,}5 $$

Ответ:

$$ 3{,}5 $$

---

Типичные ошибки

Ошибка 1. Неправильно записали числа при сложении

Нельзя писать так:

  3,45
+ 2,7
-----

Лучше дописать ноль и поставить запятую под запятой:

  3,45
+ 2,70
------
  6,15

---

Ошибка 2. Забыли поставить запятую при умножении

Например:

$$ 1{,}2 \cdot 0{,}3 $$

Нельзя просто написать:

$$ 12 \cdot 3 = 36 $$

Нужно поставить запятую:

$$ 1{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}36 $$

---

Ошибка 3. Путают перенос запятой

При умножении на $10$, $100$, $1000$ запятая идёт вправо.

$$ 2{,}35 \cdot 10 = 23{,}5 $$

При делении на $10$, $100$, $1000$ запятая идёт влево.

$$ 2{,}35 : 10 = 0{,}235 $$

---

Как считать без ошибок

Чтобы не ошибаться с десятичными дробями, запомни:

1. При сложении и вычитании записывай запятую под запятой.
2. При умножении сначала считай без запятых, потом ставь запятую в ответе.
3. При делении на десятичную дробь сначала убери запятую в делителе.
4. При сравнении можно дописывать нули.
5. После решения всегда делай проверку.

---

Примеры для самостоятельной работы

Реши примеры:

$$ 4{,}5 + 2{,}35 $$

$$ 7{,}8 - 3{,}46 $$

$$ 1{,}4 \cdot 0{,}5 $$

$$ 6{,}3 : 0{,}7 $$

$$ 12{,}45 : 10 $$

---

Ответы

1

$$ 4{,}5 + 2{,}35 = 4{,}50 + 2{,}35 = 6{,}85 $$

2

$$ 7{,}8 - 3{,}46 = 7{,}80 - 3{,}46 = 4{,}34 $$

3

$$ 1{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}7 $$

4

$$ 6{,}3 : 0{,}7 = 63 : 7 = 9 $$

5

$$ 12{,}45 : 10 = 1{,}245 $$

---

Мини-тест

Вопрос 1

Как правильно записать число $5{,}6$ для сложения с числом $2{,}34$?

1. $5{,}6$
2. $5{,}60$
3. $56$
4. $0{,}56$

Правильный ответ: 2

---

Вопрос 2

Чему равно?

$$ 2{,}5 \cdot 10 $$

1. $0{,}25$
2. $2{,}50$
3. $25$
4. $250$

Правильный ответ: 3

---

Вопрос 3

Чему равно?

$$ 3{,}6 : 0{,}6 $$

1. $6$
2. $0{,}6$
3. $60$
4. $3$

Правильный ответ: 1

---

Вопрос 4

Какое число больше?

$$ 4{,}7 \quad \text{или} \quad 4{,}65 $$

Правильный ответ:

$$ 4{,}7 $$

Потому что:

$$ 4{,}7 = 4{,}70 $$

А значит:

$$ 4{,}70 > 4{,}65 $$

---

Итог

Десятичные дроби несложные, если соблюдать порядок действий и внимательно работать с запятой.

Главное:

• при сложении и вычитании ставим запятую под запятой;
• при умножении считаем количество цифр после запятой;
• при делении на десятичную дробь переносим запятую в обоих числах;
• при сравнении можно дописывать нули.

Если научиться аккуратно считать десятичные дроби, станет проще решать задачи на деньги, проценты, измерения и уравнения.

Как складывать, вычитать и умножать обыкновенные дроби