Задание 10 ОГЭ по математике: вероятность и статистика
В задании 10 ОГЭ по математике нужно уметь находить вероятность случайного события и работать со статистическими данными. Чаще всего встречаются задачи с монетами, кубиками, шарами, карточками, таблицами и диаграммами.
Что нужно знать
В задании 10 могут встретиться:
- вероятность случайного события;
- благоприятные исходы;
- все возможные исходы;
- среднее арифметическое;
- мода;
- медиана;
- таблицы;
- диаграммы;
- анализ статистических данных.
Главное — внимательно понять, что считается подходящим исходом.
Что такое вероятность
Вероятность показывает, насколько возможно событие.
Например:
- вероятность невозможного события равна 0;
- вероятность достоверного события равна 1;
- вероятность обычного случайного события находится между 0 и 1.
Формула вероятности
Главная формула:
$$ P = \frac{m}{n} $$
где:
- $m$ — количество благоприятных исходов;
- $n$ — количество всех возможных исходов.
Что такое благоприятный исход
Благоприятный исход — это исход, который подходит под условие задачи.
Например, бросают кубик и нужно найти вероятность выпадения чётного числа.
На кубике числа:
1 2 3 4 5 6
Чётные числа:
2 4 6
Значит, благоприятных исходов 3.
Всего исходов 6.
Пример 1. Монета
Подбрасывают монету. Найдите вероятность выпадения орла.
Решение
У монеты два возможных исхода:
орёл
решка
Подходящий исход один:
орёл
Значит:
$$ m = 1 $$
$$ n = 2 $$
Используем формулу:
$$ P = \frac{m}{n} $$
$$ P = \frac{1}{2} $$
Можно записать десятичной дробью:
$$ \frac{1}{2}=0{,}5 $$
Ответ
$$ 0{,}5 $$
Пример 2. Кубик
Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения числа 4.
Решение
На кубике 6 чисел:
1 2 3 4 5 6
Всего исходов:
$$ n = 6 $$
Число 4 только одно.
Значит:
$$ m = 1 $$
Вероятность:
$$ P = \frac{1}{6} $$
Ответ
$$ \frac{1}{6} $$
Пример 3. Чётное число на кубике
Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения чётного числа.
Решение
На кубике числа:
1 2 3 4 5 6
Чётные числа:
2 4 6
Подходящих исходов:
$$ m = 3 $$
Всего исходов:
$$ n = 6 $$
Вероятность:
$$ P = \frac{3}{6} $$
Сократим дробь:
$$ P = \frac{1}{2} $$
Ответ
$$ \frac{1}{2} $$
Невозможное и достоверное события
Невозможное событие
Невозможное событие — это событие, которое не может произойти.
Его вероятность равна:
$$ 0 $$
Например, при броске обычного кубика невозможно получить число 7.
Достоверное событие
Достоверное событие — это событие, которое точно произойдёт.
Его вероятность равна:
$$ 1 $$
Например, при броске обычного кубика точно выпадет число меньше 7.
Пример 4. Шары в коробке
В коробке лежат 5 красных шаров и 3 синих шара. Какова вероятность достать синий шар?
Решение
Сначала найдём общее количество шаров:
$$ 5 + 3 = 8 $$
Всего исходов:
$$ n = 8 $$
Синих шаров 3.
Значит, благоприятных исходов:
$$ m = 3 $$
Вероятность:
$$ P = \frac{3}{8} $$
Ответ
$$ \frac{3}{8} $$
Пример 5. Карточки с числами
В коробке лежат карточки с числами от 1 до 10. Наугад выбирают одну карточку. Найдите вероятность того, что на карточке будет число, кратное 3.
Решение
Всего карточек 10:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Числа, кратные 3:
3 6 9
Подходящих исходов:
$$ m = 3 $$
Всего исходов:
$$ n = 10 $$
Вероятность:
$$ P = \frac{3}{10} $$
Ответ
$$ 0{,}3 $$
Статистика
Статистика помогает анализировать данные.
В задании 10 могут встретиться:
- среднее арифметическое;
- мода;
- медиана;
- таблицы;
- диаграммы.
Среднее арифметическое
Чтобы найти среднее арифметическое:
- Складываем все числа.
- Делим сумму на количество чисел.
Формула:
$$ \text{среднее} = \frac{\text{сумма чисел}}{\text{количество чисел}} $$
Пример 6. Среднее арифметическое
Найдите среднее арифметическое чисел:
4 6 8
Решение
Складываем числа:
$$ 4 + 6 + 8 = 18 $$
Количество чисел:
$$ 3 $$
Делим сумму на количество:
$$ 18 : 3 = 6 $$
Ответ
$$ 6 $$
Мода
Мода — это число, которое встречается чаще всего.
Пример 7. Мода
Дан ряд чисел:
2 5 5 7 9
Чаще всего встречается число:
5
Значит, мода равна:
$$ 5 $$
Ответ
$$ 5 $$
Медиана
Медиана — это число, которое стоит в середине упорядоченного ряда.
Сначала числа нужно расположить по возрастанию.
Пример 8. Медиана при нечётном количестве чисел
Дан ряд:
1 3 5 7 9
Количество чисел нечётное.
В середине стоит число:
5
Значит, медиана равна:
$$ 5 $$
Ответ
$$ 5 $$
Медиана при чётном количестве чисел
Если чисел чётное количество, то медиана — это среднее арифметическое двух центральных чисел.
Пример 9
Дан ряд:
2 4 6 8
Два центральных числа:
4 и 6
Находим их среднее:
$$ \frac{4+6}{2}=5 $$
Ответ
$$ 5 $$
Таблицы
Иногда данные представлены в таблице.
Например:
| День | Температура |
|---|---|
| Понедельник | 18 |
| Вторник | 20 |
| Среда | 16 |
| Четверг | 21 |
| Пятница | 19 |
Вопрос:
В какой день температура была самой высокой?
Самая высокая температура:
$$ 21 $$
Она была в четверг.
Ответ
в четверг
Диаграммы
Диаграммы помогают быстро сравнивать данные.
В задании 10 могут быть:
- столбчатые диаграммы;
- круговые диаграммы;
- графики;
- таблицы.
Главное — внимательно читать подписи и значения.
Пример 10. Задача по данным
В классе:
- 10 учеников любят футбол;
- 6 учеников любят баскетбол;
- 4 ученика любят плавание.
Сколько всего учеников участвовало в опросе?
Решение
Складываем все группы:
$$ 10 + 6 + 4 = 20 $$
Ответ
$$ 20 $$
Типовые задания 10 ОГЭ
Задание 1
В коробке лежат 7 белых и 5 чёрных шаров. Какова вероятность достать чёрный шар?
Решение
Всего шаров:
$$ 7 + 5 = 12 $$
Чёрных шаров:
$$ 5 $$
Вероятность:
$$ P = \frac{5}{12} $$
Ответ
$$ \frac{5}{12} $$
Задание 2
Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения числа больше 4.
Решение
На кубике числа:
1 2 3 4 5 6
Больше 4 числа:
5 6
Подходящих исходов:
$$ 2 $$
Всего исходов:
$$ 6 $$
Вероятность:
$$ P = \frac{2}{6}=\frac{1}{3} $$
Ответ
$$ \frac{1}{3} $$
Задание 3
Найдите среднее арифметическое чисел:
7 9 11
Решение
Сумма:
$$ 7 + 9 + 11 = 27 $$
Количество чисел:
$$ 3 $$
Среднее арифметическое:
$$ 27 : 3 = 9 $$
Ответ
$$ 9 $$
Задание 4
Найдите моду ряда:
4 6 6 8 10
Решение
Число 6 встречается чаще остальных.
Ответ
$$ 6 $$
Задание 5
Найдите медиану ряда:
3 8 4 10 5
Решение
Сначала расположим числа по возрастанию:
3 4 5 8 10
В середине стоит число:
5
Ответ
$$ 5 $$
Частые ошибки
Ошибка 1. Забывают делить на общее количество исходов
Неверно считать вероятность только по подходящим исходам.
Например, если из 8 шаров 3 синих, вероятность достать синий шар:
$$ \frac{3}{8} $$
а не просто:
$$ 3 $$
Ошибка 2. Путают моду и медиану
Мода — самое частое число.
Медиана — число в середине упорядоченного ряда.
Ошибка 3. Не упорядочивают ряд перед поиском медианы
Неверно искать медиану сразу в таком ряду:
3 8 4 10 5
Сначала нужно упорядочить:
3 4 5 8 10
Ошибка 4. Ошибаются при вычислении среднего арифметического
Среднее арифметическое — это сумма чисел, делённая на их количество.
Нельзя просто выбрать число, которое кажется "примерно посередине".
Ошибка 5. Неправильно читают таблицы и диаграммы
Нужно внимательно смотреть:
- что подписано по горизонтали;
- что подписано по вертикали;
- какие единицы измерения указаны;
- о каком столбце или секторе спрашивают.
Как быстро решать задание 10
Нужно помнить:
- вероятность — это дробь;
- вероятность всегда находится от 0 до 1;
- вероятность равна $\frac{m}{n}$;
- $m$ — подходящие исходы;
- $n$ — все возможные исходы;
- среднее арифметическое — сумма чисел, делённая на количество;
- мода — самое частое число;
- медиана — середина упорядоченного ряда.
Мини-тест
Вопрос 1
Бросают игральный кубик. Какова вероятность выпадения числа 2?
Показать ответ Подходит только одно число:2
Вопрос 2
Найдите среднее арифметическое чисел:
2 4 6
Вопрос 3
Найдите моду ряда:
1 3 3 5 7
Вопрос 4
Найдите медиану ряда:
2 4 6 8 10
Вопрос 5
В коробке лежат 4 красных и 6 зелёных шаров. Какова вероятность достать красный шар?
Показать ответ Всего шаров: $$ 4 + 6 = 10 $$ Красных шаров: $$ 4 $$ Вероятность: $$ \frac{4}{10}=\frac{2}{5} $$ Ответ: $$ \frac{2}{5} $$Итог
Задание 10 ОГЭ по математике проверяет умение находить вероятность и анализировать статистические данные.
Главное помнить:
- вероятность находится по формуле $P=\frac{m}{n}$;
- нужно делить количество подходящих исходов на количество всех исходов;
- вероятность не может быть меньше 0 или больше 1;
- среднее арифметическое — сумма чисел, делённая на количество;
- мода — самое частое значение;
- медиана — середина упорядоченного ряда;
- таблицы и диаграммы нужно читать внимательно.
Если аккуратно считать исходы и внимательно читать условие, задание 10 можно решить быстро и без ошибок.
Частые вопросы по теме
Что проверяет задание 10 ОГЭ по математике?
Задание 10 проверяет умение находить вероятность случайного события и анализировать статистические данные.
Какая формула вероятности нужна в задании 10?
Основная формула: P = m/n, где m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех возможных исходов.
Что такое благоприятный исход?
Благоприятный исход — это исход, который подходит под условие задачи.
Что такое мода в статистике?
Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего.
Что такое медиана?
Медиана — это число, стоящее в середине упорядоченного ряда. Если чисел чётное количество, берут среднее двух центральных чисел.