Задание 11 ОГЭ по математике: графики функций

В задании 11 ОГЭ по математике нужно установить соответствие между графиками функций и формулами. Чаще всего встречаются линейные функции, параболы, корни, гиперболы и простые преобразования графиков.

---

Что нужно знать

В задании 11 нужно уметь узнавать графики основных функций:

• линейная функция;
• квадратичная функция;
• функция квадратного корня;
• обратная пропорциональность;
• графики вида $y=kx+b$;
• графики вида $y=ax^2+c$;
• графики вида $y=\sqrt{x}$;
• графики вида $y=\frac{k}{x}$.

Главное — не строить график полностью, а быстро понять его вид и особенности.

---

Основная идея задания

Обычно в задании даны:

• несколько графиков;
• несколько формул;
• нужно установить соответствие.

Например:

А) график 1
Б) график 2
В) график 3

и формулы:

1) y = -3x + 3
2) y = 3x
3) y = 3x - 3

В ответ нужно записать цифры в порядке графиков:

А Б В

Например:

213

---

Линейная функция

Линейная функция имеет вид:

$$ y = kx + b $$

Её график — прямая.

Здесь:

• $k$ — коэффициент наклона;
• $b$ — точка пересечения с осью $y$.

---

Как влияет коэффициент k

Если:

$$ k > 0 $$

то прямая идёт вверх слева направо.

/

Если:

$$ k < 0 $$

то прямая идёт вниз слева направо.

\

---

Как влияет число b

В формуле:

$$ y = kx + b $$

число $b$ показывает, где график пересекает ось $y$.

Например:

$$ y = 3x $$

Здесь:

$$ b = 0 $$

Значит, график проходит через начало координат.

---

А в формуле:

$$ y = 3x - 3 $$

Здесь:

$$ b = -3 $$

Значит, график пересекает ось $y$ в точке:

$$ (0;-3) $$

---

Картинка 1. Линейная функция y = 3x

Функция:

$$ y = 3x $$

Особенности:

• график — прямая;
• коэффициент $k=3$, значит прямая возрастает;
• $b=0$, значит прямая проходит через начало координат;
• точка пересечения с осью $y$:

$$ (0;0) $$

---

Картинка 2. Линейная функция y = 3x - 3

Функция:

$$ y = 3x - 3 $$

Особенности:

• график — прямая;
• коэффициент $k=3$, значит прямая возрастает;
• $b=-3$, значит прямая пересекает ось $y$ в точке:

$$ (0;-3) $$

• также эта прямая проходит через точку:

$$ (1;0) $$

---

Картинка 3. Линейная функция y = -3x + 3

Функция:

$$ y = -3x + 3 $$

Особенности:

• график — прямая;
• коэффициент $k=-3$, значит прямая убывает;
• $b=3$, значит прямая пересекает ось $y$ в точке:

$$ (0;3) $$

• также она проходит через точку:

$$ (1;0) $$

---

Как различать прямые в задании

Если прямая идёт вверх слева направо, значит:

$$ k > 0 $$

Если прямая идёт вниз слева направо, значит:

$$ k < 0 $$

Если прямая проходит через начало координат, значит:

$$ b = 0 $$

Если прямая пересекает ось $y$ ниже нуля, значит:

$$ b < 0 $$

Если прямая пересекает ось $y$ выше нуля, значит:

$$ b > 0 $$

---

Пример 1. Соответствие графиков и линейных функций

Даны формулы:

1) y = -3x + 3
2) y = 3x
3) y = 3x - 3

Нужно определить, какой график какой формуле соответствует.

---

Решение

Смотрим на графики.

График А

Прямая возрастает и проходит через начало координат.

Значит:

$$ k > 0 $$

и:

$$ b = 0 $$

Подходит формула:

$$ y = 3x $$

Это номер:

2

---

График Б

Прямая убывает.

Значит:

$$ k < 0 $$

Подходит формула:

$$ y = -3x + 3 $$

Это номер:

1

---

График В

Прямая возрастает, но проходит не через начало координат.

Она пересекает ось $x$ в точке около 1, значит подходит:

$$ y = 3x - 3 $$

Это номер:

3

---

Ответ

В порядке А, Б, В:

213

---

Квадратичная функция

Квадратичная функция имеет вид:

$$ y = ax^2 + bx + c $$

Её график — парабола.

Парабола может быть направлена вверх или вниз.

---

Как понять направление параболы

Если:

$$ a > 0 $$

то ветви параболы направлены вверх.

∪

Если:

$$ a < 0 $$

то ветви параболы направлены вниз.

∩

---

Картинка 4. Квадратичная функция y = -x^2 - 2

Функция:

$$ y = -x^2 - 2 $$

Особенности:

• график — парабола;
• перед $x^2$ стоит минус, значит ветви направлены вниз;
• число $-2$ сдвигает график вниз;
• вершина параболы находится в точке:

$$ (0;-2) $$

---

Как узнать параболу

Параболу легко узнать по форме.

Она похожа на дугу:

∪

или:

∩

Если график симметричен относительно вертикальной прямой, это часто парабола.

---

Функция квадратного корня

Функция квадратного корня имеет вид:

$$ y = \sqrt{x} $$

Её график начинается в точке:

$$ (0;0) $$

и идёт только вправо.

---

Картинка 5. Функция y = √x

Функция:

$$ y = \sqrt{x} $$

Особенности:

• график начинается в начале координат;
• график находится только справа от оси $y$;
• значения $x$ не могут быть отрицательными;
• график возрастает, но постепенно становится более пологим.

---

Почему график y = √x только справа

Под корнем не может стоять отрицательное число, если мы работаем с обычными действительными числами.

Например:

$$ \sqrt{-1} $$

в школьной математике не рассматривается.

Поэтому для функции:

$$ y = \sqrt{x} $$

должно быть:

$$ x \ge 0 $$

---

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность имеет вид:

$$ y = \frac{k}{x} $$

Её график — гипербола.

---

Картинка 6. Обратная пропорциональность y = 2/x

Функция:

$$ y = \frac{2}{x} $$

Особенности:

• график состоит из двух ветвей;
• если $k>0$, ветви находятся в первой и третьей четвертях;
• график не пересекает оси координат;
• при $x=0$ функция не определена.

---

Почему гипербола не пересекает ось y

В формуле:

$$ y = \frac{2}{x} $$

нельзя подставить:

$$ x=0 $$

потому что на ноль делить нельзя.

Поэтому график не касается оси $y$.

---

Основные виды графиков

Формула	Вид графика	Как узнать
$y=kx+b$	прямая	ровная линия
$y=ax^2+bx+c$	парабола	дуга вверх или вниз
$y=\sqrt{x}$	корень	начинается от 0 и идёт вправо
$y=\frac{k}{x}$	гипербола	две отдельные ветви
$y=	x	$

---

Как решать задание 11

Используй такой алгоритм:

1. Сначала определи вид графика.
2. Если это прямая, смотри на наклон и пересечение с осью $y$.
3. Если это парабола, смотри, вверх или вниз направлены ветви.
4. Если это корень, ищи график, который начинается справа от нуля.
5. Если это гипербола, ищи две отдельные ветви.
6. Сравни графики с формулами.
7. Запиши номера формул в нужном порядке.

---

Пример 2. Разные типы функций

Даны формулы:

1) y = -0,5x
2) y = -x^2 - 2
3) y = √x

Нужно установить соответствие с графиками.

---

Решение

График А

График начинается около точки:

$$ (0;0) $$

и идёт вправо.

Это график функции:

$$ y = \sqrt{x} $$

Значит, график А соответствует формуле 3.

---

График Б

График — парабола, ветви направлены вниз.

Значит, это квадратичная функция:

$$ y = -x^2 - 2 $$

Это формула 2.

---

График В

График — прямая, которая убывает.

Значит, коэффициент перед $x$ отрицательный.

Подходит формула:

$$ y = -0{,}5x $$

Это формула 1.

---

Ответ

В порядке А, Б, В:

321

---

Как быстро отличить графики

Прямая

Если график — ровная линия, это линейная функция:

$$ y = kx + b $$

---

Парабола

Если график похож на дугу, это квадратичная функция:

$$ y = ax^2 + bx + c $$

---

Корень

Если график начинается от точки и идёт только вправо, это функция:

$$ y = \sqrt{x} $$

---

Гипербола

Если график состоит из двух отдельных ветвей, это функция:

$$ y = \frac{k}{x} $$

---

Частые ошибки

Ошибка 1. Смотрят только на одну точку

Иногда несколько графиков могут проходить через похожие точки.

Нужно смотреть не только на точку, но и на весь вид графика:

• прямая;
• парабола;
• корень;
• гипербола.

---

Ошибка 2. Путают знак коэффициента k

Для прямой:

$$ y = kx + b $$

если прямая возрастает, то:

$$ k > 0 $$

если убывает, то:

$$ k < 0 $$

---

Ошибка 3. Не смотрят на пересечение с осью y

В формуле:

$$ y = kx + b $$

число $b$ показывает, где прямая пересекает ось $y$.

Например:

$$ y = 3x - 3 $$

пересекает ось $y$ в точке:

$$ (0;-3) $$

---

Ошибка 4. Путают параболу и гиперболу

Парабола — это одна цельная дуга.

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей.

---

Ошибка 5. Путают корень и параболу

График:

$$ y = \sqrt{x} $$

начинается от нуля и идёт только вправо.

Парабола обычно имеет две симметричные ветви.

---

Алгоритм решения задания 11

Чтобы решить задание 11, действуй так:

1. Посмотри на первый график.
2. Определи его тип.
3. Если это прямая, проверь знак наклона.
4. Если это прямая, найди пересечение с осью $y$.
5. Если это парабола, проверь направление ветвей.
6. Если это корень, проверь, что график начинается справа.
7. Если это гипербола, проверь расположение ветвей.
8. Подбери подходящую формулу.
9. Повтори для всех графиков.
10. Запиши ответ цифрами без пробелов.

---

Тренировка

Задание 1

Установите соответствие между графиками и формулами.

Формулы:

1) y = 2x
2) y = -2x + 4
3) y = 2x - 4

Графики:

А) прямая возрастает и проходит через начало координат
Б) прямая убывает и пересекает ось y в точке 4
В) прямая возрастает и пересекает ось y в точке -4

Показать ответ График А: $$ y = 2x $$ Это формула 1. График Б: $$ y = -2x + 4 $$ Это формула 2. График В: $$ y = 2x - 4 $$ Это формула 3. Ответ:

123

---

Задание 2

Установите соответствие между описаниями графиков и формулами.

Формулы:

1) y = -x^2
2) y = √x
3) y = 3/x

Графики:

А) две ветви в первой и третьей четвертях
Б) парабола ветвями вниз
В) график начинается в начале координат и идёт вправо

Показать ответ График А — это гипербола: $$ y = \frac{3}{x} $$ Это формула 3. График Б — это парабола ветвями вниз: $$ y = -x^2 $$ Это формула 1. График В — это корень: $$ y = \sqrt{x} $$ Это формула 2. Ответ:

312

---

Задание 3

Установите соответствие между графиками и формулами.

Формулы:

1) y = x^2 + 1
2) y = -x
3) y = √x

Графики:

А) прямая убывает и проходит через начало координат
Б) парабола ветвями вверх с вершиной выше оси x
В) график определён только при x ≥ 0

Показать ответ График А: $$ y = -x $$ Это формула 2. График Б: $$ y = x^2 + 1 $$ Это формула 1. График В: $$ y = \sqrt{x} $$ Это формула 3. Ответ:

213

---

Мини-тест

Вопрос 1

Какой график имеет функция:

$$ y = 5x - 2 $$

1. парабола
2. прямая
3. гипербола
4. корень

Правильный ответ: 2

---

Вопрос 2

Если в функции:

$$ y = kx + b $$

коэффициент $k<0$, то прямая:

1. возрастает
2. убывает
3. является параболой
4. не пересекает ось $y$

Правильный ответ: 2

---

Вопрос 3

График функции:

$$ y = -x^2 $$

это:

1. парабола ветвями вверх
2. парабола ветвями вниз
3. прямая
4. гипербола

Правильный ответ: 2

---

Вопрос 4

График функции:

$$ y = \sqrt{x} $$

начинается:

1. слева от оси $y$
2. только при $x \ge 0$
3. в третьей четверти
4. с двух ветвей

Правильный ответ: 2

---

Вопрос 5

График функции:

$$ y = \frac{2}{x} $$

это:

1. прямая
2. парабола
3. гипербола
4. график корня

Правильный ответ: 3

---

Итог

Задание 11 ОГЭ по математике проверяет умение узнавать графики функций и сопоставлять их с формулами.

Главное помнить:

• $y=kx+b$ — это прямая;
• знак $k$ показывает, возрастает или убывает прямая;
• число $b$ показывает пересечение с осью $y$;
• $y=ax^2+bx+c$ — это парабола;
• если $a<0$, парабола направлена вниз;
• $y=\sqrt{x}$ начинается при $x=0$ и идёт вправо;
• $y=\frac{k}{x}$ — это гипербола из двух ветвей.

Если сначала определить тип графика, а потом смотреть на детали, задание 11 можно решить быстро и без ошибок.