Задание 13 ОГЭ по математике: неравенства и системы неравенств

В задании 13 ОГЭ по математике нужно уметь решать неравенства и системы неравенств. Часто требуется выбрать правильный рисунок на координатной прямой или указать верный промежуток.

---

Что нужно знать

Для выполнения задания 13 нужно уметь:

• решать линейные неравенства;
• решать системы линейных неравенств;
• изображать решение на координатной прямой;
• понимать строгие и нестрогие неравенства;
• решать квадратные неравенства;
• записывать ответ промежутком;
• выбирать правильный вариант ответа.

Главное — внимательно следить за знаком неравенства и правильно отмечать точки на прямой.

---

Основные знаки неравенств

Знак	Как читается	Точка на прямой
$>$	больше	пустая
$<$	меньше	пустая
$\ge$	больше или равно	закрашенная
$\le$	меньше или равно	закрашенная

---

Строгое и нестрогое неравенство

Если неравенство строгое:

$$ x > 4 $$

или:

$$ x < 4 $$

то число 4 не входит в ответ.

На координатной прямой точка будет пустой:

4 ○────────→

---

Если неравенство нестрогое:

$$ x \ge 4 $$

или:

$$ x \le 4 $$

то число 4 входит в ответ.

На координатной прямой точка будет закрашенной:

4 ●────────→

---

Линейные неравенства

Линейное неравенство решается почти как обычное уравнение.

Например:

$$ x + 5 \ge 12 $$

Переносим 5 вправо:

$$ x \ge 12 - 5 $$

$$ x \ge 7 $$

---

Важное правило

Если умножаем или делим обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Например:

$$ -2x > 8 $$

Делим на $-2$.

Знак меняется:

$$ x < -4 $$

---

Пример 1. Линейное неравенство и рисунок

Решите неравенство:

$$ x - (6 - 2x) \ge 9x $$

И выберите правильное изображение решения на координатной прямой.

---

Решение

Раскроем скобки:

$$ x - 6 + 2x \ge 9x $$

Сложим подобные слагаемые:

$$ 3x - 6 \ge 9x $$

Перенесём $3x$ вправо:

$$ -6 \ge 6x $$

Делим на 6:

$$ -1 \ge x $$

Это то же самое, что:

$$ x \le -1 $$

---

Как изобразить ответ

У нас:

$$ x \le -1 $$

Значит:

• точка $-1$ закрашенная;
• штриховка идёт влево.

←────────● -1

---

Ответ

x ≤ -1

---

Как выбрать рисунок на координатной прямой

Если получилось:

$$ x > a $$

то штриховка идёт вправо, точка пустая:

a ○────────→

Если получилось:

$$ x \ge a $$

то штриховка идёт вправо, точка закрашенная:

a ●────────→

Если получилось:

$$ x < a $$

то штриховка идёт влево, точка пустая:

←────────○ a

Если получилось:

$$ x \le a $$

то штриховка идёт влево, точка закрашенная:

←────────● a

---

Системы неравенств

Система неравенств — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно.

Например:

$$ \left{ \begin{matrix} x < 5 \ x > 2 \end{matrix} \right. $$

Это значит, что $x$ должен быть больше 2 и меньше 5.

Ответ:

$$ 2 < x < 5 $$

или промежутком:

$$ (2;5) $$

---

Пример 2. Система неравенств

Решите систему:

$$ \left{ \begin{array}{l} x < 6 \ 9 - x > 2 \end{array} \right. $$

---

Решение

Первое неравенство уже готово:

$$ x < 6 $$

Решим второе:

$$ 9 - x > 2 $$

Перенесём 9 вправо:

$$ -x > 2 - 9 $$

$$ -x > -7 $$

Делим на $-1$.

Знак меняется:

$$ x < 7 $$

Получили систему:

$$ \left{ \begin{array}{l} x < 6 \ x < 7 \end{array} \right. $$

Оба условия должны выполняться одновременно.

Если $x < 6$, то условие $x < 7$ тоже выполняется.

Значит, ответ:

$$ x < 6 $$

---

Ответ

$$ (-\infty;6) $$

---

Пример 3. Система с промежутком

Решите систему:

$$ \left{ \begin{array}{l} x - 3 \ge 0 \ x - 1 < 5 \end{array} \right. $$

---

Решение

Решим первое неравенство:

$$ x - 3 \ge 0 $$

$$ x \ge 3 $$

Решим второе неравенство:

$$ x - 1 < 5 $$

$$ x < 6 $$

Получили:

$$ \left{ \begin{array}{l} x \ge 3 \ x < 6 \end{array} \right. $$

Значит, $x$ находится от 3 до 6.

Число 3 входит, потому что знак $\ge$.

Число 6 не входит, потому что знак $<$.

Ответ:

$$ [3;6) $$

На координатной прямой:

3 ●──────○ 6

---

Промежутки

Запись	Что означает
$(a;b)$	от $a$ до $b$, границы не входят
$[a;b]$	от $a$ до $b$, границы входят
$[a;b)$	$a$ входит, $b$ не входит
$(a;b]$	$a$ не входит, $b$ входит
$(-\infty;a)$	все числа меньше $a$
$(-\infty;a]$	все числа меньше или равны $a$
$(a;+\infty)$	все числа больше $a$
$[a;+\infty)$	все числа больше или равны $a$

---

Квадратные неравенства

В задании 13 могут встретиться квадратные неравенства.

Например:

$$ x^2 - 1 \ge 0 $$

или:

$$ -x^2 + x \ge 0 $$

Такие неравенства удобно решать через разложение на множители и координатную прямую.

---

Пример 4. Квадратное неравенство

Решите неравенство:

$$ x^2 - 9 \ge 0 $$

---

Решение

Разложим выражение по формуле разности квадратов:

$$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $$

Получаем:

$$ (x - 3)(x + 3) \ge 0 $$

Найдём нули:

$$ x - 3 = 0 $$

$$ x = 3 $$

и:

$$ x + 3 = 0 $$

$$ x = -3 $$

Отмечаем точки на прямой:

────●────────●────
   -3        3

Проверяем знаки на промежутках.

Промежуток	Знак выражения
$(-\infty;-3)$	плюс
$(-3;3)$	минус
$(3;+\infty)$	плюс

Нам нужно:

$$ \ge 0 $$

Значит, берём промежутки, где выражение положительное или равно нулю:

$$ (-\infty;-3] \cup [3;+\infty) $$

---

Ответ

$$ (-\infty;-3] \cup [3;+\infty) $$

---

Пример 5. Квадратное неравенство с минусом перед x²

Решите неравенство:

$$ -x^2 + x \ge 0 $$

---

Решение

Вынесем $x$ за скобку:

$$ -x^2 + x = x(1-x) $$

Получаем:

$$ x(1-x) \ge 0 $$

Найдём нули:

$$ x = 0 $$

и:

$$ 1 - x = 0 $$

$$ x = 1 $$

Отмечаем точки:

────●────────●────
    0        1

Проверим знаки.

Промежуток	Знак выражения $x(1-x)$
$(-\infty;0)$	минус
$(0;1)$	плюс
$(1;+\infty)$	минус

Нам нужно:

$$ \ge 0 $$

Значит, подходит промежуток между 0 и 1, включая границы:

$$ [0;1] $$

---

Ответ

$$ [0;1] $$

---

Почему в квадратном неравенстве иногда ответ снаружи, а иногда внутри

Если парабола направлена вверх, как у:

$$ x^2 - 9 $$

то выражение положительно снаружи корней.

плюс   минус   плюс
────●────────●────
   -3        3

Если парабола направлена вниз, как у:

$$ -x^2 + x $$

то выражение положительно между корнями.

минус   плюс   минус
────●────────●────
    0        1

---

Круглая и квадратная скобка в ответе

Если знак строгий:

$$ > $$

или:

$$ < $$

то точки не входят в ответ.

Используем круглые скобки:

$$ (a;b) $$

---

Если знак нестрогий:

$$ \ge $$

или:

$$ \le $$

то точки входят в ответ.

Используем квадратные скобки:

$$ [a;b] $$

---

Типовые задания 13 ОГЭ

---

Задание 1

Решите неравенство:

$$ 2x - 5 \ge 7 $$

Решение

Переносим $-5$ вправо:

$$ 2x \ge 12 $$

Делим на 2:

$$ x \ge 6 $$

Ответ

$$ [6;+\infty) $$

---

Задание 2

Решите неравенство:

$$ 7 - 2x < 1 $$

Решение

Переносим 7 вправо:

$$ -2x < 1 - 7 $$

$$ -2x < -6 $$

Делим на $-2$.

Знак меняется:

$$ x > 3 $$

Ответ

$$ (3;+\infty) $$

---

Задание 3

Решите систему:

$$ \left{ \begin{array}{l} x \ge -2 \ x < 4 \end{array} \right. $$

Решение

Нужно взять общую часть решений:

$$ -2 \le x < 4 $$

Ответ

$$ [-2;4) $$

---

Задание 4

Решите неравенство:

$$ x^2 - 4 \ge 0 $$

Решение

Разложим:

$$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $$

Нули:

$$ x = -2 $$

и:

$$ x = 2 $$

Так как выражение должно быть больше или равно нулю, берём внешние промежутки:

$$ (-\infty;-2] \cup [2;+\infty) $$

Ответ

$$ (-\infty;-2] \cup [2;+\infty) $$

---

Задание 5

Решите неравенство:

$$ -x^2 + 4x \ge 0 $$

Решение

Вынесем $x$:

$$ -x^2 + 4x = x(4-x) $$

Нули:

$$ x = 0 $$

и:

$$ x = 4 $$

Выражение неотрицательно между корнями:

$$ [0;4] $$

Ответ

$$ [0;4] $$

---

Частые ошибки

Ошибка 1. Забывают менять знак при делении на минус

Неверно:

$$ -2x < -6 $$

$$ x < 3 $$

Правильно:

$$ -2x < -6 $$

$$ x > 3 $$

---

Ошибка 2. Путают пустую и закрашенную точки

Если:

$$ x > 4 $$

то точка 4 пустая.

Если:

$$ x \ge 4 $$

то точка 4 закрашенная.

---

Ошибка 3. В системе берут не общую часть, а все решения сразу

Для системы нужно пересечение решений.

Например:

$$ \left{ \begin{array}{l} x>2 \ x<5 \end{array} \right. $$

Ответ:

$$ (2;5) $$

а не:

$$ (2;+\infty) $$

и не:

$$ (-\infty;5) $$

---

Ошибка 4. Неправильно выбирают промежутки в квадратном неравенстве

Например:

$$ x^2 - 9 \ge 0 $$

Подходит не промежуток между корнями, а внешние промежутки:

$$ (-\infty;-3] \cup [3;+\infty) $$

---

Ошибка 5. Забывают включить корни при знаках $\ge$ и $\le$

Если в неравенстве стоит:

$$ \ge 0 $$

или:

$$ \le 0 $$

то точки, где выражение равно нулю, входят в ответ.

---

Алгоритм решения задания 13

Чтобы решить задание 13, действуй по плану:

1. Определи тип задания: одно неравенство, система или квадратное неравенство.
2. Реши каждое неравенство отдельно.
3. Если делишь на отрицательное число, поменяй знак.
4. Если это система, найди общую часть решений.
5. Если это квадратное неравенство, найди нули и проверь знаки на промежутках.
6. Определи, входят ли граничные точки.
7. Запиши ответ промежутком или выбери правильный рисунок.

---

Тренировка

Задание 1

Решите неравенство:

$$ 3x - 4 \ge 11 $$

Показать ответ $$ 3x \ge 15 $$ $$ x \ge 5 $$ Ответ: $$ [5;+\infty) $$

---

Задание 2

Решите неравенство:

$$ 5 - x > 9 $$

Показать ответ $$ -x > 4 $$ Делим на $-1$ и меняем знак: $$ x < -4 $$ Ответ: $$ (-\infty;-4) $$

---

Задание 3

Решите систему:

$$ \left{ \begin{array}{l} x > -1 \ x \le 3 \end{array} \right. $$

Показать ответ Берём общую часть: $$ -1 < x \le 3 $$ Ответ: $$ (-1;3] $$

---

Задание 4

Решите неравенство:

$$ x^2 - 16 \ge 0 $$

Показать ответ $$ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) $$ Нули: $$ x=-4 $$ и: $$ x=4 $$ Берём внешние промежутки: $$ (-\infty;-4] \cup [4;+\infty) $$

---

Задание 5

Решите неравенство:

$$ -x^2 + 5x \ge 0 $$

Показать ответ $$ -x^2 + 5x = x(5-x) $$ Нули: $$ x=0 $$ и: $$ x=5 $$ Выражение неотрицательно между корнями: $$ [0;5] $$

---

Мини-тест

Вопрос 1

Решите неравенство:

$$ x + 3 > 8 $$

1. $x > 5$
2. $x < 5$
3. $x \ge 5$
4. $x \le 5$

Правильный ответ: 1

---

Вопрос 2

Решите неравенство:

$$ -3x \le 12 $$

1. $x \le -4$
2. $x \ge -4$
3. $x < -4$
4. $x > -4$

Правильный ответ: 2

---

Вопрос 3

Какой промежуток соответствует неравенству:

$$ x < 7 $$

1. $[7;+\infty)$
2. $(7;+\infty)$
3. $(-\infty;7)$
4. $(-\infty;7]$

Правильный ответ: 3

---

Вопрос 4

Решите систему:

$$ \left{ \begin{array}{l} x \ge 2 \ x < 6 \end{array} \right. $$

1. $[2;6)$
2. $(2;6]$
3. $(-\infty;2]$
4. $[6;+\infty)$

Правильный ответ: 1

---

Вопрос 5

Решите неравенство:

$$ x^2 - 1 \ge 0 $$

1. $(-\infty;+ \infty)$
2. нет решений
3. $(-\infty;-1] \cup [1;+\infty)$
4. $[-1;1]$

Правильный ответ: 3

---

Итог

Задание 13 ОГЭ по математике проверяет умение решать неравенства и системы неравенств.

Главное помнить:

• линейные неравенства решаются как уравнения;
• при делении на отрицательное число знак меняется;
• в системе нужно искать общую часть решений;
• строгие неравенства дают пустые точки;
• нестрогие неравенства дают закрашенные точки;
• квадратные неравенства удобно решать через нули и знаки на промежутках.

Если аккуратно следить за знаками и правильно изображать решение на прямой, задание 13 можно решить без ошибок.