Задание 7 ОГЭ по математике: координатная прямая и сравнение чисел

В задании 7 ОГЭ по математике чаще всего нужно работать с координатной прямой: сравнивать числа, определять положение точки, выбирать верное утверждение или понимать, входит ли число в промежуток.

---

Что проверяет задание 7

В этом задании нужно уметь:

• понимать координатную прямую;
• сравнивать числа;
• определять, какое число больше или меньше;
• работать с выражениями вида a - 8, 7 - a;
• понимать, когда разность положительная или отрицательная;
• определять принадлежность числа промежутку;
• сравнивать квадратные корни с целыми числами.

---

Главное правило координатной прямой

На координатной прямой числа увеличиваются слева направо.

←─────●─────●─────●─────●────→
     -2     0      3      7

Чем правее число, тем оно больше.

Чем левее число, тем оно меньше.

Например:

$$ 7 > 3 $$

потому что 7 находится правее 3.

---

Как понять выражения вида a - 8 > 0

В заданиях часто дают число a на координатной прямой и спрашивают, какое утверждение верное.

Например:

$$ a - 8 > 0 $$

Это можно переписать проще:

$$ a > 8 $$

То есть число a должно быть больше 8.

---

Таблица перевода выражений

Выражение	Что означает
$a - 8 > 0$	$a > 8$
$a - 3 > 0$	$a > 3$
$7 - a < 0$	$7 < a$, значит $a > 7$
$2 - a > 0$	$2 > a$, значит $a < 2$
$4 - a > 0$	$4 > a$, значит $a < 4$
$4 - a < 0$	$4 < a$, значит $a > 4$
$a - 3 < 0$	$a < 3$
$a - 6 > 0$	$a > 6$

---

Тип задания: выбрать верное утверждение про число a

Пример 1

На координатной прямой отмечено число a.

0─────2─────4─────6─────8─────10
              ●
              a

Какое из утверждений относительно этого числа является верным?

1. $a - 8 > 0$
2. $7 - a < 0$
3. $a - 3 > 0$
4. $2 - a > 0$

---

Решение

По рисунку видно, что число a находится между 4 и 6.

Значит:

$$ a > 3 $$

Проверим варианты.

---

Вариант 1

$$ a - 8 > 0 $$

Это значит:

$$ a > 8 $$

Но наше число меньше 8.

Вариант не подходит.

---

Вариант 2

$$ 7 - a < 0 $$

Это значит:

$$ 7 < a $$

или:

$$ a > 7 $$

Но наше число меньше 7.

Вариант не подходит.

---

Вариант 3

$$ a - 3 > 0 $$

Это значит:

$$ a > 3 $$

Это верно.

---

Вариант 4

$$ 2 - a > 0 $$

Это значит:

$$ 2 > a $$

или:

$$ a < 2 $$

Это неверно.

---

Ответ

3

---

Как быстро проверять такие утверждения

Алгоритм:

1. Посмотри, где находится число на координатной прямой.
2. Определи, больше оно или меньше нужных чисел.
3. Каждое выражение перепиши проще.
4. Выбери верное утверждение.

---

Разность двух чисел: когда она отрицательная

В задании 7 часто спрашивают:

Какая из разностей отрицательна?

Например:

$$ z - x, \quad z - y, \quad y - x $$

Главное правило:

$$ a - b < 0 $$

тогда и только тогда, когда:

$$ a < b $$

То есть разность отрицательна, если первое число меньше второго.

---

Пример 2. Какая разность отрицательна

На координатной прямой отмечены числа x, y и z.

←────●────────●────────●────→
     x        y        z

Какая из разностей отрицательна?

1. $z - x$
2. $z - y$
3. $x - z$
4. ни одна из них

---

Решение

По рисунку:

$$ x < y < z $$

Теперь проверим разности.

---

Вариант 1

$$ z - x $$

Так как z больше x, то:

$$ z - x > 0 $$

Разность положительная.

---

Вариант 2

$$ z - y $$

Так как z больше y, то:

$$ z - y > 0 $$

Разность положительная.

---

Вариант 3

$$ x - z $$

Так как x меньше z, то:

$$ x - z < 0 $$

Разность отрицательная.

---

Ответ

3

---

Какому числу соответствует точка

Иногда в задании дана координатная прямая и точка, например A или B.

Нужно выбрать число, которому соответствует эта точка.

Алгоритм:

1. Посмотри на соседние целые числа.
2. Определи, между какими числами находится точка.
3. Посмотри, ближе она к левому или правому числу.
4. Сравни с вариантами ответа.

---

Пример 3. Определить число по точке

На координатной прямой отмечена точка B.

0─────1─────2─────3─────4
            ●
            B

Точка B находится около числа 2.

Значит, ей может соответствовать число, близкое к 2.

Если среди вариантов есть число:

$$ 2 $$

то оно подходит.

---

Промежуток [7; 8]

Запись:

$$ [7; 8] $$

означает все числа от 7 до 8, включая сами числа 7 и 8.

То есть подходят:

$$ 7 $$

$$ 7{,}1 $$

$$ 7{,}5 $$

$$ 8 $$

Не подходят:

$$ 6{,}9 $$

$$ 8{,}1 $$

Чтобы проверить, принадлежит ли число промежутку $[7;8]$, нужно проверить два условия:

$$ x \ge 7 $$

и

$$ x \le 8 $$

То есть:

$$ 7 \le x \le 8 $$

---

Пример 4. Число из промежутка

Какое из чисел принадлежит промежутку:

$$ [7; 8] $$

Варианты:

1. $6{,}8$
2. $7{,}3$
3. $8{,}5$
4. $9$

---

Решение

Проверим варианты:

6,8 меньше 7 — не подходит
7,3 находится между 7 и 8 — подходит
8,5 больше 8 — не подходит
9 больше 8 — не подходит

---

Ответ

2

---

Квадратные корни на координатной прямой

В задании 7 могут спросить:

Между какими числами заключено число?

Например:

$$ \sqrt{50} $$

Чтобы понять, между какими целыми числами находится корень, сравниваем подкоренное число с квадратами целых чисел.

---

Таблица квадратов

Число	Квадрат
$1$	$1$
$2$	$4$
$3$	$9$
$4$	$16$
$5$	$25$
$6$	$36$
$7$	$49$
$8$	$64$
$9$	$81$
$10$	$100$

---

Пример 5. Между какими числами находится корень

Между какими числами заключено число:

$$ \sqrt{50} $$

---

Решение

Найдём ближайшие квадраты:

$$ 7^2 = 49 $$

$$ 8^2 = 64 $$

Число 50 находится между 49 и 64:

$$ 49 < 50 < 64 $$

Значит:

$$ 7 < \sqrt{50} < 8 $$

---

Ответ

между 7 и 8

---

Пример 6. Выбор варианта с корнем

Между какими числами заключено число:

$$ \sqrt{15} $$

Варианты:

1. 20 и 22
2. 7 и 8
3. 59 и 61
4. 3 и 4

---

Решение

Найдём квадраты рядом:

$$ 3^2 = 9 $$

$$ 4^2 = 16 $$

Число 15 находится между 9 и 16:

$$ 9 < 15 < 16 $$

Значит:

$$ 3 < \sqrt{15} < 4 $$

---

Ответ

4

---

Частые ошибки в задании 7

Ошибка 1. Путают направление координатной прямой

Неправильно думать, что слева числа больше.

Правильно:

← меньше        больше →

Чем правее число, тем оно больше.

---

Ошибка 2. Неверно понимают выражение 7 - a < 0

Выражение:

$$ 7 - a < 0 $$

означает:

$$ 7 < a $$

то есть:

$$ a > 7 $$

---

Ошибка 3. Забывают, когда разность отрицательная

Разность:

$$ a - b $$

отрицательна, если:

$$ a < b $$

Например:

$$ 3 - 7 = -4 $$

---

Ошибка 4. Неправильно проверяют промежуток

Промежуток:

$$ [7; 8] $$

означает:

$$ 7 \le x \le 8 $$

Числа 7 и 8 входят, потому что скобки квадратные.

---

Ошибка 5. Путают корень и подкоренное число

Например:

$$ \sqrt{50} $$

не равно 50.

Нужно найти, между квадратами каких чисел находится 50:

$$ 49 < 50 < 64 $$

значит:

$$ 7 < \sqrt{50} < 8 $$

---

Алгоритмы решения

Если нужно выбрать верное утверждение про число a

1. Найди, где находится число a на прямой.
2. Определи, больше оно или меньше данных чисел.
3. Перепиши каждое утверждение проще.
4. Выбери то, которое совпадает с рисунком.

---

Если нужно найти отрицательную разность

1. Определи порядок чисел на прямой.
2. Помни: разность отрицательна, если первое число меньше второго.
3. Проверь каждый вариант.
4. Выбери отрицательную разность.

---

Если нужно определить промежуток для корня

1. Найди ближайшие квадраты.
2. Сравни подкоренное число с ними.
3. Сделай вывод, между какими числами находится корень.

Например:

$$ 49 < 50 < 64 $$

значит:

$$ 7 < \sqrt{50} < 8 $$

---

Мини-шпаргалка

Ситуация	Что делать
Нужно сравнить числа	Смотри, какое правее на прямой
Нужно проверить a - 8 > 0	Перепиши как a > 8
Нужно проверить 7 - a < 0	Перепиши как a > 7
Нужно найти отрицательную разность	Первое число должно быть меньше второго
Нужно проверить [7;8]	Число должно быть от 7 до 8 включительно
Нужно оценить корень	Сравнивай с квадратами

---

Тренировка

Задание 1

На координатной прямой отмечено число a.

0─────2─────4─────6─────8
              ●
              a

Какое утверждение верно?

1. $a - 8 > 0$
2. $7 - a < 0$
3. $a - 3 > 0$
4. $2 - a > 0$

Показать ответ Число `a` находится правее 3. Значит: $$ a > 3 $$ Это соответствует утверждению: $$ a - 3 > 0 $$ Ответ: $$ 3 $$

---

Задание 2

Какая из разностей отрицательна?

←────●────────●────────●────→
     x        y        z

1. $z - x$
2. $z - y$
3. $x - z$
4. ни одна из них

Показать ответ По рисунку: $$ x < y < z $$ Разность отрицательна, если первое число меньше второго. Так как: $$ x < z $$ то: $$ x - z < 0 $$ Ответ: $$ 3 $$

---

Задание 3

Какое число принадлежит промежутку:

$$ [7; 8] $$

1. $6{,}9$
2. $7{,}4$
3. $8{,}3$
4. $9$

Показать ответ Промежуток: $$ [7; 8] $$ означает: $$ 7 \le x \le 8 $$ Число $7{,}4$ находится между 7 и 8. Ответ: $$ 2 $$

---

Задание 4

Между какими числами заключено число:

$$ \sqrt{40} $$

1. 4 и 5
2. 5 и 6
3. 6 и 7
4. 7 и 8

Показать ответ Найдём квадраты: $$ 6^2 = 36 $$ $$ 7^2 = 49 $$ Так как: $$ 36 < 40 < 49 $$ то: $$ 6 < \sqrt{40} < 7 $$ Ответ: $$ 3 $$

---

Мини-тест

Вопрос 1

Если число a правее числа 5 на координатной прямой, то верно:

1. $a < 5$
2. $a = 5$
3. $a > 5$
4. $a < 0$

Правильный ответ: 3

---

Вопрос 2

Какое утверждение равносильно выражению:

$$ a - 6 > 0 $$

1. $a > 6$
2. $a < 6$
3. $a = 6$
4. $a < 0$

Правильный ответ: 1

---

Вопрос 3

Какая разность отрицательна, если:

$$ x < y $$

1. $y - x$
2. $x - y$
3. $y + x$
4. $x \cdot y$

Правильный ответ: 2

---

Вопрос 4

Какое число принадлежит промежутку:

$$ [7; 8] $$

1. $6{,}5$
2. $7{,}8$
3. $8{,}2$
4. $9$

Правильный ответ: 2

---

Вопрос 5

Между какими числами находится:

$$ \sqrt{20} $$

1. 2 и 3
2. 3 и 4
3. 4 и 5
4. 5 и 6

Правильный ответ: 3

---

Итог

Задание 7 ОГЭ по математике часто связано с координатной прямой и сравнением чисел.

Главное помнить:

• чем правее число, тем оно больше;
• выражение a - b > 0 означает a > b;
• выражение a - b < 0 означает a < b;
• разность отрицательна, если первое число меньше второго;
• промежуток [7;8] включает числа 7 и 8;
• квадратные корни удобно сравнивать через квадраты целых чисел.

Если внимательно смотреть на координатную прямую и правильно переписывать неравенства, задание 7 можно решить быстро и без ошибок.