Задание 9 ОГЭ по математике: уравнения, неравенства и системы

В задании 9 ОГЭ по математике нужно уметь решать уравнения, неравенства и системы. Чаще всего встречаются линейные уравнения, квадратные уравнения, линейные неравенства и системы уравнений.

---

Что нужно знать

В задании 9 могут встретиться:

• линейные уравнения;
• квадратные уравнения;
• уравнения со скобками;
• линейные неравенства;
• системы уравнений;
• системы неравенств;
• координатная прямая;
• промежутки.

Главное — аккуратно выполнять преобразования и следить за знаками.

---

Линейные уравнения

Уравнение — это равенство с неизвестным числом.

Например:

$$ x + 5 = 12 $$

Нужно найти такое значение $x$, при котором равенство станет верным.

---

Как решать линейные уравнения

Обычно нужно перенести числа в одну сторону, а неизвестные — в другую.

---

Пример 1

Решите уравнение:

$$ x + 7 = 15 $$

Решение

Переносим число 7 в правую часть с противоположным знаком:

$$ x = 15 - 7 $$

$$ x = 8 $$

Ответ

$$ 8 $$

---

Пример 2

Решите уравнение:

$$ 3x = 21 $$

Решение

Чтобы найти $x$, делим обе части на 3:

$$ x = \frac{21}{3} $$

$$ x = 7 $$

Ответ

$$ 7 $$

---

Уравнения со скобками

Если в уравнении есть скобки, сначала их нужно раскрыть.

---

Пример 3

Решите уравнение:

$$ 2(x + 3) = 14 $$

Решение

Раскрываем скобки:

$$ 2x + 6 = 14 $$

Переносим 6 вправо:

$$ 2x = 14 - 6 $$

$$ 2x = 8 $$

Делим на 2:

$$ x = 4 $$

Ответ

$$ 4 $$

---

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение, где есть $x^2$.

Общий вид квадратного уравнения:

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

где $a \ne 0$.

---

Пример 4

Решите уравнение:

$$ x^2 - 9 = 0 $$

Решение

Переносим 9 вправо:

$$ x^2 = 9 $$

Значит:

$$ x = 3 $$

или:

$$ x = -3 $$

Потому что:

$$ 3^2 = 9 $$

и:

$$ (-3)^2 = 9 $$

Ответ

$$ -3; \ 3 $$

---

Дискриминант

Если квадратное уравнение имеет вид:

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

то дискриминант находится по формуле:

$$ D = b^2 - 4ac $$

После этого корни можно найти по формуле:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$

---

Пример 5

Решите уравнение:

$$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$

Решение

Здесь:

$$ a = 1, \quad b = -5, \quad c = 6 $$

Находим дискриминант:

$$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 $$

$$ D = 25 - 24 = 1 $$

Теперь находим корни:

$$ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} $$

$$ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 $$

$$ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} $$

$$ x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 $$

Ответ

$$ 2; \ 3 $$

---

Неравенства

Неравенство похоже на уравнение, но вместо знака равно используются знаки:

$$ > $$

$$ < $$

$$ \ge $$

$$ \le $$

---

Пример 6

Решите неравенство:

$$ x + 4 > 10 $$

Решение

Переносим 4 вправо:

$$ x > 10 - 4 $$

$$ x > 6 $$

Ответ

$$ x > 6 $$

---

Пример 7

Решите неравенство:

$$ 5x \le 20 $$

Решение

Делим обе части на 5:

$$ x \le 4 $$

Ответ

$$ x \le 4 $$

---

Важное правило для неравенств

Если умножаем или делим обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

---

Пример 8

Решите неравенство:

$$ -2x > 8 $$

Решение

Делим обе части на $-2$.

Так как делим на отрицательное число, знак меняется:

$$ x < -4 $$

Ответ

$$ x < -4 $$

---

Координатная прямая

Неравенства удобно показывать на координатной прямой.

---

Строгое неравенство

Например:

$$ x > 3 $$

Число 3 не входит в ответ, поэтому точка пустая:

3 ○────────→

---

Нестрогое неравенство

Например:

$$ x \ge 3 $$

Число 3 входит в ответ, поэтому точка закрашенная:

3 ●────────→

---

Системы уравнений

Система — это несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно.

Например:

$$ \left{ \begin{array}{l} x+y=7 \ x-y=1 \end{array} \right. $$

Нужно найти такие $x$ и $y$, которые подходят сразу для двух уравнений.

---

Способ сложения

Пример 9

Решите систему:

$$ \left{ \begin{array}{l} x+y=7 \ x-y=1 \end{array} \right. $$

Решение

Сложим уравнения:

$$ (x+y)+(x-y)=7+1 $$

Получаем:

$$ 2x = 8 $$

$$ x = 4 $$

Теперь подставим $x=4$ в первое уравнение:

$$ 4 + y = 7 $$

$$ y = 3 $$

Ответ

$$ (4;3) $$

---

Способ подстановки

Способ подстановки удобен, если одна переменная уже выражена через другую.

---

Пример 10

Решите систему:

$$ \left{ \begin{array}{l} y=x+2 \ x+y=8 \end{array} \right. $$

Решение

Вместо $y$ подставим $x+2$ во второе уравнение:

$$ x + (x + 2) = 8 $$

$$ 2x + 2 = 8 $$

$$ 2x = 6 $$

$$ x = 3 $$

Теперь найдём $y$:

$$ y = x + 2 $$

$$ y = 3 + 2 = 5 $$

Ответ

$$ (3;5) $$

---

Системы неравенств

В системе неравенств нужно найти значения, которые подходят сразу под все условия.

---

Пример 11

Решите систему неравенств:

$$ \left{ \begin{array}{l} x>2 \ x<7 \end{array} \right. $$

Решение

Первое неравенство означает:

$$ x > 2 $$

Второе неравенство означает:

$$ x < 7 $$

Значит, $x$ находится между 2 и 7:

$$ 2 < x < 7 $$

На координатной прямой:

2 ○──────○ 7

Ответ

$$ (2;7) $$

---

Интервалы

Запись	Что означает
$(2;7)$	от 2 до 7, границы не входят
$[2;7]$	от 2 до 7, границы входят
$(-\infty;5)$	все числа меньше 5
$[3;+\infty)$	все числа больше или равны 3

---

Типовые задания 9 ОГЭ

---

Задание 1

Решите уравнение:

$$ 7x = 56 $$

Решение

Делим обе части на 7:

$$ x = 8 $$

Ответ

$$ 8 $$

---

Задание 2

Решите неравенство:

$$ x - 3 \ge 5 $$

Решение

Переносим $-3$ вправо:

$$ x \ge 5 + 3 $$

$$ x \ge 8 $$

Ответ

$$ x \ge 8 $$

---

Задание 3

Решите систему:

$$ \left{ \begin{array}{l} x+y=10 \ x-y=2 \end{array} \right. $$

Решение

Складываем уравнения:

$$ 2x = 12 $$

$$ x = 6 $$

Подставляем в первое уравнение:

$$ 6 + y = 10 $$

$$ y = 4 $$

Ответ

$$ (6;4) $$

---

Задание 4

Решите квадратное уравнение:

$$ x^2 - 16 = 0 $$

Решение

Переносим 16 вправо:

$$ x^2 = 16 $$

Значит:

$$ x = 4 $$

или:

$$ x = -4 $$

Ответ

$$ -4; \ 4 $$

---

Задание 5

Решите неравенство:

$$ -3x \le 12 $$

Решение

Делим обе части на $-3$.

Так как делим на отрицательное число, знак меняется:

$$ x \ge -4 $$

Ответ

$$ x \ge -4 $$

---

Частые ошибки

Ошибка 1. Забывают менять знак неравенства

Если делим или умножаем на отрицательное число, знак обязательно меняется.

Неверно:

$$ -2x > 8 $$

$$ x > -4 $$

Правильно:

$$ -2x > 8 $$

$$ x < -4 $$

---

Ошибка 2. Ошибаются при переносе чисел

Например:

$$ x + 7 = 15 $$

Правильно:

$$ x = 15 - 7 $$

А не:

$$ x = 15 + 7 $$

---

Ошибка 3. Неправильно раскрывают скобки

Неверно:

$$ 2(x+3)=2x+3 $$

Правильно:

$$ 2(x+3)=2x+6 $$

---

Ошибка 4. Теряют второй корень квадратного уравнения

Если:

$$ x^2 = 16 $$

то:

$$ x = 4 $$

и:

$$ x = -4 $$

---

Ошибка 5. Путают пустую и закрашенную точки

Если неравенство строгое:

$$ x > 3 $$

точка пустая.

Если неравенство нестрогое:

$$ x \ge 3 $$

точка закрашенная.

---

Как быстро решать задание 9

Нужно помнить:

• переносим числа с противоположным знаком;
• при делении на отрицательное число знак неравенства меняется;
• систему решаем сразу для всех уравнений;
• в квадратном уравнении не забываем второй корень;
• внимательно работаем со знаками;
• проверяем ответ подстановкой.

---

Мини-тест

Вопрос 1

Решите уравнение:

$$ x + 9 = 14 $$

Показать ответ $$ x = 14 - 9 $$ $$ x = 5 $$ Ответ: $$ 5 $$

---

Вопрос 2

Решите неравенство:

$$ 3x < 12 $$

Показать ответ $$ x < 4 $$ Ответ: $$ x < 4 $$

---

Вопрос 3

Решите квадратное уравнение:

$$ x^2 = 16 $$

Показать ответ $$ x = 4 $$ или: $$ x = -4 $$ Ответ: $$ -4; \ 4 $$

---

Вопрос 4

Решите систему:

$$ \left{ \begin{array}{l} x+y=5 \ x-y=1 \end{array} \right. $$

Показать ответ Складываем уравнения: $$ 2x = 6 $$ $$ x = 3 $$ Подставляем: $$ 3 + y = 5 $$ $$ y = 2 $$ Ответ: $$ (3;2) $$

---

Итог

Задание 9 ОГЭ по математике проверяет умение решать уравнения, неравенства и системы.

Главное помнить:

• линейные уравнения решаются переносом и делением;
• в неравенствах знак меняется при делении на отрицательное число;
• квадратное уравнение может иметь два корня;
• систему нужно решать так, чтобы ответ подходил сразу ко всем уравнениям;
• на координатной прямой строгие неравенства обозначаются пустой точкой, а нестрогие — закрашенной.

Если аккуратно выполнять преобразования и проверять знаки, задание 9 можно решить быстро и без ошибок.