Задание №9 ОГЭ по математике

Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

В задании №9 ОГЭ нужно уметь решать уравнения, неравенства и системы.

---

Что нужно знать

В задании встречаются:

• линейные уравнения;
• квадратные уравнения;
• линейные неравенства;
• системы уравнений;
• системы неравенств;
• координатная прямая.

---

Линейные уравнения

Что такое уравнение

Уравнение — это равенство с неизвестным числом.

Пример

$$ x + 5 = 12 $$

Нужно найти число x.

---

Как решать уравнения

Пример 1

Решите уравнение:

$$ x + 7 = 15 $$

Переносим число:

$$ x = 15 - 7 $$

$$ x = 8 $$

Ответ:

$$ 8 $$

---

Пример 2

Решите уравнение:

$$ 3x = 21 $$

Делим обе части на 3:

$$ x = 7 $$

Ответ:

$$ 7 $$

---

Уравнения со скобками

Пример

$$ 2(x + 3) = 14 $$

Раскрываем скобки:

$$ 2x + 6 = 14 $$

Переносим:

$$ 2x = 8 $$

$$ x = 4 $$

Ответ:

$$ 4 $$

---

Квадратные уравнения

Общий вид

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

---

Пример

$$ x^2 - 9 = 0 $$

Получаем:

$$ x^2 = 9 $$

Значит:

$$ x = 3 $$

или

$$ x = -3 $$

---

Дискриминант

Формула дискриминанта:

$$ D = b^2 - 4ac $$

---

Пример

$$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$

Находим дискриминант:

$$ D = 25 - 24 = 1 $$

Находим корни:

$$ x = 3 $$

$$ x = 2 $$

---

Неравенства

Пример 1

$$ x + 4 > 10 $$

$$ x > 6 $$

---

Пример 2

$$ 5x \le 20 $$

$$ x \le 4 $$

---

Важное правило

Если делим или умножаем на отрицательное число — знак меняется.

---

Пример

$$ -2x > 8 $$

Делим на -2.

Получаем:

$$ x < -4 $$

---

Координатная прямая

Строгое неравенство

$$ x > 3 $$

Точка пустая:

3 ○────────→

---

Нестрогое неравенство

$$ x \ge 3 $$

Точка закрашенная:

3 ●────────→

---

Системы уравнений

Система — это несколько уравнений вместе.

---

Пример

$$ \left\{ \begin{array}{l} x+y=7 \\ x-y=1 \end{array} \right. $$

Складываем уравнения:

$$ 2x = 8 $$

$$ x = 4 $$

Подставляем:

$$ 4 + y = 7 $$

$$ y = 3 $$

Ответ:

$$ (4;3) $$

---

Способ подстановки

Пример

$$ \left\{ \begin{array}{l} y=x+2 \\ x+y=8 \end{array} \right. $$

Подставляем:

$$ x + (x + 2) = 8 $$

$$ 2x + 2 = 8 $$

$$ 2x = 6 $$

$$ x = 3 $$

Теперь найдём y:

$$ y = 3 + 2 = 5 $$

Ответ:

$$ (3;5) $$

---

Системы неравенств

Пример

$$ \left\{ \begin{array}{l} x>2 \\ x<7 \end{array} \right. $$

Получаем:

$$ 2 < x < 7 $$

На координатной прямой:

2 ○──────○ 7

---

Интервалы

Запись	Что означает
(2;7)	от 2 до 7 без границ
[2;7]	от 2 до 7 с границами
(-∞;5)	все числа меньше 5
[3;+∞)	все числа больше или равны 3

---

Типовые задания ОГЭ

Пример 1

Решите уравнение:

$$ 7x = 56 $$

$$ x = 8 $$

---

Пример 2

Решите неравенство:

$$ x - 3 \ge 5 $$

$$ x \ge 8 $$

---

Пример 3

Решите систему:

$$ \left\{ \begin{array}{l} x+y=10 \\ x-y=2 \end{array} \right. $$

Складываем:

$$ 2x = 12 $$

$$ x = 6 $$

Подставляем:

$$ 6 + y = 10 $$

$$ y = 4 $$

Ответ:

$$ (6;4) $$

---

Частые ошибки

❌ Забывают менять знак при делении на минус.

❌ Ошибаются при переносе чисел.

❌ Неправильно раскрывают скобки.

❌ Теряют второй корень квадратного уравнения.

❌ Путают пустую и закрашенную точки.

---

Как быстро решать задание №9

Нужно помнить:

✅ переносим числа с противоположным знаком;

✅ при делении на минус знак меняется;

✅ систему решаем сразу для всех уравнений;

✅ внимательно работаем со знаками;

✅ проверяем ответ подстановкой.

---

Мини-тест

1. Решите уравнение

$$ x + 9 = 14 $$

Ответ:

$$ x = 5 $$

---

2. Решите неравенство

$$ 3x < 12 $$

Ответ:

$$ x < 4 $$

---

3. Решите квадратное уравнение

$$ x^2 = 16 $$

Ответ:

$$ x = 4 $$

или

$$ x = -4 $$

---

4. Решите систему

$$ \left\{ \begin{array}{l} x+y=5 \\ x-y=1 \end{array} \right. $$

Ответ:

$$ (3;2) $$

---

Итог

Задание №9 ОГЭ проверяет:

• умение решать уравнения;
• работу с неравенствами;
• решение систем;
• внимательность при вычислениях.

Главное — аккуратно выполнять преобразования и проверять знаки.